题目
22.（简答题，8.0分）求函数u=ln(x+y^2+z^2)在点P_(0)(0,1,2)处沿向量vec(l)=2,-1,-1的方向导数.
22.（简答题，8.0分）
求函数$u=\ln(x+y^{2}+z^{2})$在点$P_{0}(0,1,2)$处沿向量$\vec{l}=\{2,-1,-1\}$的方向导数.
题目解答
答案
1. **计算梯度**
\[
\nabla u = \left( \frac{1}{x+y^2+z^2}, \frac{2y}{x+y^2+z^2}, \frac{2z}{x+y^2+z^2} \right)
\]
在点 $ P_0(0,1,2) $ 处，
\[
\nabla u \bigg|_{P_0} = \left( \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{4}{5} \right)
\]
2. **归一化向量**
\[
\vec{l} = \{2, -1, -1\}, \quad $\vec{l}$ = \sqrt{6}, \quad \hat{l} = \left( \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}} \right)
\]
3. **计算方向导数**
\[
\frac{\partial u}{\partial l} \bigg|_{P_0} = \nabla u \bigg|_{P_0} \cdot \hat{l} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} + \frac{2}{5} \cdot \frac{-1}{\sqrt{6}} + \frac{4}{5} \cdot \frac{-1}{\sqrt{6}} = -\frac{4}{5\sqrt{6}} = -\frac{2\sqrt{6}}{15}
\]
**答案：**
\[
\boxed{-\frac{2\sqrt{6}}{15}}
\]
解析
步骤 1：计算梯度
首先，我们需要计算函数 $u=\ln(x+y^{2}+z^{2})$ 在点 $P_{0}(0,1,2)$ 处的梯度。梯度是一个向量，其分量是函数在该点处对每个变量的偏导数。对于函数 $u$，梯度为：
\[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) \]
计算每个偏导数：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{x+y^{2}+z^{2}} \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{x+y^{2}+z^{2}} \]
\[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{2z}{x+y^{2}+z^{2}} \]
在点 $P_{0}(0,1,2)$ 处，代入 $x=0, y=1, z=2$，得到：
\[ \nabla u \bigg|_{P_0} = \left( \frac{1}{0+1^{2}+2^{2}}, \frac{2 \cdot 1}{0+1^{2}+2^{2}}, \frac{2 \cdot 2}{0+1^{2}+2^{2}} \right) = \left( \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{4}{5} \right) \]
步骤 2：归一化向量
接下来，我们需要将向量 $\vec{l}=\{2,-1,-1\}$ 归一化，得到单位向量 $\hat{l}$。向量 $\vec{l}$ 的模长为：
\[ |\vec{l}| = \sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{6} \]
因此，单位向量 $\hat{l}$ 为：
\[ \hat{l} = \left( \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}} \right) \]
步骤 3：计算方向导数
最后，我们计算函数 $u$ 在点 $P_{0}(0,1,2)$ 处沿向量 $\vec{l}$ 的方向导数。方向导数是梯度与单位向量 $\hat{l}$ 的点积：
\[ \frac{\partial u}{\partial l} \bigg|_{P_0} = \nabla u \bigg|_{P_0} \cdot \hat{l} = \left( \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{4}{5} \right) \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}} \right) \]
\[ = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} + \frac{2}{5} \cdot \frac{-1}{\sqrt{6}} + \frac{4}{5} \cdot \frac{-1}{\sqrt{6}} \]
\[ = \frac{2}{5\sqrt{6}} - \frac{2}{5\sqrt{6}} - \frac{4}{5\sqrt{6}} \]
\[ = -\frac{4}{5\sqrt{6}} \]
\[ = -\frac{2\sqrt{6}}{15} \]
首先，我们需要计算函数 $u=\ln(x+y^{2}+z^{2})$ 在点 $P_{0}(0,1,2)$ 处的梯度。梯度是一个向量，其分量是函数在该点处对每个变量的偏导数。对于函数 $u$，梯度为：
\[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) \]
计算每个偏导数：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{x+y^{2}+z^{2}} \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{x+y^{2}+z^{2}} \]
\[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{2z}{x+y^{2}+z^{2}} \]
在点 $P_{0}(0,1,2)$ 处，代入 $x=0, y=1, z=2$，得到：
\[ \nabla u \bigg|_{P_0} = \left( \frac{1}{0+1^{2}+2^{2}}, \frac{2 \cdot 1}{0+1^{2}+2^{2}}, \frac{2 \cdot 2}{0+1^{2}+2^{2}} \right) = \left( \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{4}{5} \right) \]
步骤 2：归一化向量
接下来，我们需要将向量 $\vec{l}=\{2,-1,-1\}$ 归一化，得到单位向量 $\hat{l}$。向量 $\vec{l}$ 的模长为：
\[ |\vec{l}| = \sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{6} \]
因此，单位向量 $\hat{l}$ 为：
\[ \hat{l} = \left( \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}} \right) \]
步骤 3：计算方向导数
最后，我们计算函数 $u$ 在点 $P_{0}(0,1,2)$ 处沿向量 $\vec{l}$ 的方向导数。方向导数是梯度与单位向量 $\hat{l}$ 的点积：
\[ \frac{\partial u}{\partial l} \bigg|_{P_0} = \nabla u \bigg|_{P_0} \cdot \hat{l} = \left( \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{4}{5} \right) \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}} \right) \]
\[ = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} + \frac{2}{5} \cdot \frac{-1}{\sqrt{6}} + \frac{4}{5} \cdot \frac{-1}{\sqrt{6}} \]
\[ = \frac{2}{5\sqrt{6}} - \frac{2}{5\sqrt{6}} - \frac{4}{5\sqrt{6}} \]
\[ = -\frac{4}{5\sqrt{6}} \]
\[ = -\frac{2\sqrt{6}}{15} \]