题目
设f（x）=dfrac (2)(3)(x)^3,xleqslant 1 (x)^2,xgt 1，则f（x）在x=1处的（ ） A. 左、右导数都存在 B. 左导数存在，右导数不存在 C. 左导数不存在，右导数存在 D. 左、右导数都不存在
设f（x）=
，则f（x）在x=1处的（ ）
-
左、右导数都存在
-
左导数存在，右导数不存在
-
左导数不存在，右导数存在
-
左、右导数都不存在
题目解答
答案
解：
=
=
（x2+x+1）=2，
=
不存在，
故左导数不存在，右导数存在；
故选：C．
解析
步骤 1：计算左导数
计算f(x)在x=1处的左导数，即计算$\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$。由于x≤1时，f(x)=$\frac{2}{3}x^3$，因此f(1)=$\frac{2}{3} \cdot 1^3 = \frac{2}{3}$。所以，左导数为$\lim_{x \to 1^-} \frac{\frac{2}{3}x^3 - \frac{2}{3}}{x - 1}$。通过因式分解，可以得到$\lim_{x \to 1^-} (x^2 + x + 1) = 2$。
步骤 2：计算右导数
计算f(x)在x=1处的右导数，即计算$\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$。由于x>1时，f(x)=$x^2$，因此f(1)=$1^2 = 1$。所以，右导数为$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$。通过因式分解，可以得到$\lim_{x \to 1^+} (x + 1)$，但因为f(1)在x>1时的定义与x≤1时的定义不一致，所以右导数不存在。
计算f(x)在x=1处的左导数，即计算$\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$。由于x≤1时，f(x)=$\frac{2}{3}x^3$，因此f(1)=$\frac{2}{3} \cdot 1^3 = \frac{2}{3}$。所以，左导数为$\lim_{x \to 1^-} \frac{\frac{2}{3}x^3 - \frac{2}{3}}{x - 1}$。通过因式分解，可以得到$\lim_{x \to 1^-} (x^2 + x + 1) = 2$。
步骤 2：计算右导数
计算f(x)在x=1处的右导数，即计算$\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$。由于x>1时，f(x)=$x^2$，因此f(1)=$1^2 = 1$。所以，右导数为$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$。通过因式分解，可以得到$\lim_{x \to 1^+} (x + 1)$，但因为f(1)在x>1时的定义与x≤1时的定义不一致，所以右导数不存在。