题目
微分方程dfrac (dy)(dx)=dfrac ({y)^2+(x)^3}(2xy)的通解为：dfrac (dy)(dx)=dfrac ({y)^2+(x)^3}(2xy)dfrac (dy)(dx)=dfrac ({y)^2+(x)^3}(2xy)dfrac (dy)(dx)=dfrac ({y)^2+(x)^3}(2xy)dfrac (dy)(dx)=dfrac ({y)^2+(x)^3}(2xy)
微分方程
的通解为：
题目解答
答案
首先根据题干可知：微分方程可化为：
，这个时候可以把
看作
，原式可化为：
，代入公式可得：
，所以本题选
解析
步骤 1：化简微分方程
给定微分方程为 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {{y}^{2}+{x}^{3}}{2xy}$，首先将方程化简为 $2yy' = \dfrac{y^2}{x} + x^2$，其中 $y' = \dfrac{dy}{dx}$。
步骤 2：引入变量替换
令 $z = y^2$，则 $z' = 2yy'$。将 $z$ 和 $z'$ 代入化简后的方程，得到 $z' = \dfrac{z}{x} + x^2$。
步骤 3：求解一阶线性微分方程
方程 $z' - \dfrac{z}{x} = x^2$ 是一阶线性微分方程。使用积分因子法求解，积分因子为 $e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$。乘以积分因子后，方程变为 $\frac{1}{x}z' - \frac{1}{x^2}z = x$，即 $(\frac{z}{x})' = x$。积分得 $\frac{z}{x} = \frac{x^2}{2} + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：求解 $y$
将 $z = y^2$ 代入上式，得到 $y^2 = x(\frac{x^2}{2} + C)$。
给定微分方程为 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {{y}^{2}+{x}^{3}}{2xy}$，首先将方程化简为 $2yy' = \dfrac{y^2}{x} + x^2$，其中 $y' = \dfrac{dy}{dx}$。
步骤 2：引入变量替换
令 $z = y^2$，则 $z' = 2yy'$。将 $z$ 和 $z'$ 代入化简后的方程，得到 $z' = \dfrac{z}{x} + x^2$。
步骤 3：求解一阶线性微分方程
方程 $z' - \dfrac{z}{x} = x^2$ 是一阶线性微分方程。使用积分因子法求解，积分因子为 $e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$。乘以积分因子后，方程变为 $\frac{1}{x}z' - \frac{1}{x^2}z = x$，即 $(\frac{z}{x})' = x$。积分得 $\frac{z}{x} = \frac{x^2}{2} + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：求解 $y$
将 $z = y^2$ 代入上式，得到 $y^2 = x(\frac{x^2}{2} + C)$。