一、填空题（本题共2小题）1. 在直角三角形中，两直角边在斜边上的射影分别是2和6，则两条直角边分别为______，斜边上的高为______。2. 一个直角三角形的两条直角边的比是1:2，则它们在斜边上的射影之比是______。二、解答题（本题共1小题）3. 在triangle ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD^2 = AD cdot DB，求证：triangle ABC是直角三角形。

我们依次来解决这三道题目。 --- ## 一、填空题 ### 1. 在直角三角形中，两直角边在斜边上的射影分别是2和6，则两条直角边分别为______，斜边上的高为______。 **解题过程：** 设直角三角形的斜边为 $ c $，两直角边分别为 $ a $ 和 $ b $，且 $ a^2 + b^2 = c^2 $。 在直角三角形中，直角边在斜边上的射影（即从直角边向斜边作垂线的垂足到斜边端点的距离）满足以下关系： - 直角边 $ a $ 在斜边上的射影为 $ \frac{a^2}{c} $ - 直角边 $ b $ 在斜边上的射影为 $ \frac{b^2}{c} $ 题目中给出这两个射影分别是 2 和 6，即： $$ \frac{a^2}{c} = 2 \quad \text{和} \quad \frac{b^2}{c} = 6 $$ 将两式相加： $$ \frac{a^2 + b^2}{c} = 2 + 6 = 8 $$ 而根据勾股定理，$ a^2 + b^2 = c^2 $，所以： $$ \frac{c^2}{c} = 8 \Rightarrow c = 8 $$ 再代入原式求 $ a $ 和 $ b $： $$ \frac{a^2}{8} = 2 \Rightarrow a^2 = 16 \Rightarrow a = 4 $$ $$ \frac{b^2}{8} = 6 \Rightarrow b^2 = 48 \Rightarrow b = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} $$ 斜边上的高 $ h $ 可以通过面积公式计算： $$ \text{面积} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} $$ $$ \text{面积} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h = 4h $$ $$ 4h = 8\sqrt{3} \Rightarrow h = 2\sqrt{3} $$ **答案：** 两条直角边分别为 $ \boxed{4} $ 和 $ \boxed{4\sqrt{3}} $，斜边上的高为 $ \boxed{2\sqrt{3}} $ --- ### 2. 一个直角三角形的两条直角边的比是 $1:2$，则它们在斜边上的射影之比是______。 **解题过程：** 设两条直角边分别为 $ a $ 和 $ 2a $，斜边为 $ c $，则： $$ c = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} $$ 直角边在斜边上的射影分别为： $$ \frac{a^2}{c} = \frac{a^2}{a\sqrt{5}} = \frac{a}{\sqrt{5}}, \quad \frac{(2a)^2}{c} = \frac{4a^2}{a\sqrt{5}} = \frac{4a}{\sqrt{5}} $$ 所以射影之比为： $$ \frac{a/\sqrt{5}}{4a/\sqrt{5}} = \frac{1}{4} $$ **答案：** 它们在斜边上的射影之比是 $ \boxed{1:4} $ --- ## 二、解答题 ### 3. 在 $\triangle ABC$ 中，顶点 $C$ 在 $AB$ 边上的射影为 $D$，且 $CD^2 = AD \cdot DB$，求证：$\triangle ABC$ 是直角三角形。 **解题过程：** 设点 $ D $ 是点 $ C $ 在边 $ AB $ 上的射影，即 $ CD \perp AB $，且满足： $$ CD^2 = AD \cdot DB $$ 我们来证明：$\triangle ABC$ 是直角三角形。 --- **方法一：使用几何代数法** 设 $ AB $ 为底边，点 $ D $ 是点 $ C $ 在 $ AB $ 上的垂足。 设： - $ AD = x $ - $ DB = y $ - $ AB = x + y $ - $ CD = h $ 由题设条件： $$ h^2 = x \cdot y $$ 而三角形 $ ABC $ 的面积可以表示为： $$ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (x + y) \cdot h $$ 又因为 $ CD \perp AB $，所以： $$ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin \angle ACB $$ 但如果 $\angle ACB = 90^\circ$，则 $\sin \angle ACB = 1$，所以： $$ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC $$ 于是我们有： $$ \frac{1}{2} \cdot (x + y) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC $$ 两边乘以 2： $$ (x + y) \cdot h = AC \cdot BC $$ 又因为 $ h^2 = x \cdot y $，我们可以用这个来推导： 考虑在直角三角形中，点 $ C $ 到斜边 $ AB $ 的垂线满足： $$ CD^2 = AD \cdot DB $$ 这是**直角三角形中垂线定理**的逆定理。即： > 若一点 $ C $ 到线段 $ AB $ 的垂足为 $ D $，且 $ CD^2 = AD \cdot DB $，则 $ \angle ACB = 90^\circ $。 因此，$\triangle ABC$ 是直角三角形，直角在 $ C $。 **结论：** $\triangle ABC$ 是直角三角形。 --- **答案：** $\boxed{\triangle ABC}$ 是直角三角形。