某5元齐次线性方程组经初等变换将系数矩阵化为} 1 & -1 & 2 & 3 & -4 1 & 5 & -2 & 0 2 & 0 ，自由未知量可取为(1) x_4, x_5；(2) x_3, x_5；(3) x_1, x_5；(4) x_2, x_3，那么正确的有( )A. 4个B. 1个C. 3个D. 2个

本题考查齐次线性方程组自由未知量的选取知识，解题思路是通过对系数矩阵进行初等变换，找到矩阵的秩，进而确定自由未知量的个数，再判断各个选项的正确性。

下面进行详细的计算和分析：

1. 对系数矩阵$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 & -4 \\ 1 & 5 & -2 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$进行初等变换：
   • 第二行减去第一行，得到$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & 6 & -4 & -3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$。
   • 第三行减去$2$倍的第一行，得到$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & 6 & -4 & -3 \\ 0 & 2 & -4 & -6 \end{pmatrix}$。
   • 第二行除以$6$，得到$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 2 & -4 & -6 \end{pmatrix}$。
   • 第三行减去$2$倍的第二行，得到$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{8}{3} & -5 \end{pmatrix}$。
2. 由此可知矩阵的秩为$2$。
3. 因为方程组有$5$个未知数，矩阵的秩为$2$，所以自由未知量的个数为$5 - 2 = 3$。
4. 逐一分析各个选项：
   • 选项(1) $x_4, x_5$，自由未知量个数为$2$，不符合要求。
   • 选项(2) $x_3, x_5$，自由未知量个数为$2$，不符合要求。
   • 选项(3) $x_1, x_5$，自由未知量个数为$2$，不符合要求。
   • 选项(4) $x_2, x_3$，自由未知量个数为$2$，不符合要求。
5. 所以正确的选项只有$1$个。