(1)函数 (x)=(x)^4 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理,则 xi = __

考查要点：本题主要考查拉格朗日中值定理的应用，要求根据定理的条件和结论，求出满足条件的点$\xi$的值。

解题核心思路：

1. 验证定理条件：确认函数$f(x)=x^4$在区间$[1,2]$上连续且可导（多项式函数满足条件）。
2. 应用定理公式：根据拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (1,2)$，使得$f(2)-f(1)=f'(\xi)(2-1)$。
3. 解方程求$\xi$：通过计算左右两边的值，建立方程并求解。

破题关键点：

• 正确计算函数值和导数：$f(2)=16$，$f(1)=1$，导数$f'(x)=4x^3$。
• 解三次方程：将方程$4\xi^3=15$转化为$\xi=\sqrt[3]{\dfrac{15}{4}}$，并验证$\xi$是否在区间$(1,2)$内。

根据拉格朗日中值定理，函数$f(x)=x^4$在区间$[1,2]$上连续且可导，因此存在$\xi \in (1,2)$，使得：
$f(2)-f(1)=f'(\xi)(2-1)$

步骤1：计算函数值
$f(2)=2^4=16, \quad f(1)=1^4=1$
因此：
$f(2)-f(1)=16-1=15$

步骤2：计算导数
函数$f(x)=x^4$的导数为：
$f'(x)=4x^3$

步骤3：建立方程
根据定理公式：
$15 = f'(\xi) \cdot 1 \implies 4\xi^3=15$

步骤4：解方程求$\xi$
解得：
$\xi^3 = \dfrac{15}{4} \implies \xi = \sqrt[3]{\dfrac{15}{4}}$

验证区间
计算$\sqrt[3]{\dfrac{15}{4}} \approx 1.55$，确实在区间$(1,2)$内，符合定理要求。