题目
求椭球面 x^2+2y^2+z^2=1上平行于平面 x-y+2z=0的切平面方程 ()A. x+y+2z=1 B. x-y+2z= sqrt((11)/(2)) C. x-y+2z= pm sqrt((11)/(2)) D. x-y+2z=1
求椭球面 $x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1$上平行于平面 $x-y+2z=0$的切平面方程 ()
A. $x+y+2z=1 $
B. $$ $x-y+2z= \sqrt{\frac{11}{2}}$ $$
C. $$ $x-y+2z= \pm \sqrt{\frac{11}{2}}$ $$
D. $x-y+2z=1 $
题目解答
答案
C. $$ $x-y+2z= \pm \sqrt{\frac{11}{2}}$ $$
解析
步骤 1：确定椭球面的法向量
椭球面 $x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1$ 的法向量为 $\nabla F = (2x, 4y, 2z)$，其中 $F(x,y,z) = x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1$。
步骤 2：确定切平面的法向量
切平面平行于平面 $x-y+2z=0$，因此切平面的法向量为 $(1, -1, 2)$。
步骤 3：确定切点
由于切平面的法向量与椭球面的法向量平行，因此存在常数 $k$ 使得 $(2x, 4y, 2z) = k(1, -1, 2)$。由此可得 $x = \frac{k}{2}$，$y = -\frac{k}{4}$，$z = k$。将这些值代入椭球面方程 $x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1$，得到 $\frac{k^{2}}{4} + 2\frac{k^{2}}{16} + k^{2} = 1$，即 $\frac{11k^{2}}{8} = 1$，从而 $k^{2} = \frac{8}{11}$，$k = \pm \sqrt{\frac{8}{11}}$。
步骤 4：确定切平面方程
将 $k = \pm \sqrt{\frac{8}{11}}$ 代入 $x = \frac{k}{2}$，$y = -\frac{k}{4}$，$z = k$，得到切点坐标 $(\frac{\sqrt{\frac{8}{11}}}{2}, -\frac{\sqrt{\frac{8}{11}}}{4}, \sqrt{\frac{8}{11}})$ 和 $(\frac{-\sqrt{\frac{8}{11}}}{2}, \frac{\sqrt{\frac{8}{11}}}{4}, -\sqrt{\frac{8}{11}})$。切平面方程为 $x-y+2z = \pm \sqrt{\frac{11}{2}}$。
椭球面 $x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1$ 的法向量为 $\nabla F = (2x, 4y, 2z)$，其中 $F(x,y,z) = x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1$。
步骤 2：确定切平面的法向量
切平面平行于平面 $x-y+2z=0$，因此切平面的法向量为 $(1, -1, 2)$。
步骤 3：确定切点
由于切平面的法向量与椭球面的法向量平行，因此存在常数 $k$ 使得 $(2x, 4y, 2z) = k(1, -1, 2)$。由此可得 $x = \frac{k}{2}$，$y = -\frac{k}{4}$，$z = k$。将这些值代入椭球面方程 $x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1$，得到 $\frac{k^{2}}{4} + 2\frac{k^{2}}{16} + k^{2} = 1$，即 $\frac{11k^{2}}{8} = 1$，从而 $k^{2} = \frac{8}{11}$，$k = \pm \sqrt{\frac{8}{11}}$。
步骤 4：确定切平面方程
将 $k = \pm \sqrt{\frac{8}{11}}$ 代入 $x = \frac{k}{2}$，$y = -\frac{k}{4}$，$z = k$，得到切点坐标 $(\frac{\sqrt{\frac{8}{11}}}{2}, -\frac{\sqrt{\frac{8}{11}}}{4}, \sqrt{\frac{8}{11}})$ 和 $(\frac{-\sqrt{\frac{8}{11}}}{2}, \frac{\sqrt{\frac{8}{11}}}{4}, -\sqrt{\frac{8}{11}})$。切平面方程为 $x-y+2z = \pm \sqrt{\frac{11}{2}}$。