题目

计算二重积分 (iint )_(D)(x-y)dxdy, 其中 = (x,y)|{(x-1))^2+((y-1))^2leqslant 2,ygeqslant x} .

题目解答

答案

解析

本题主要考察二重积分的计算，可通过极坐标变换或平移变换简化积分区域，具体思路如下：

方法一：极坐标变换

  1. 积分区域分析：
    原区域 $D = \{(x,y) \mid (x-1)^2 + (y-1)^2 \leq 2, y \geq x\}$ 是圆心为 $(1,1)$、半径为 $\sqrt{2}$ 的圆，且在直线 $y=x$ 上方。
    转换为极坐标时，需将圆心平移至原点：令 $x = 1 + r\cos\theta$，$y = 1 + r\sin\theta$，则圆方程变为 $r \leq 2(\sin\theta + \cos\theta)$。
    直线 $y=x$ 对应 $\theta = \frac{\pi}{4}$，结合圆的范围，$\theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$。

  2. 积分变量替换：
    $x - y = (1 + r\cos\theta) - (1 + r\sin\theta) = r(\cos\theta - \sin\theta)$，面积元素 $dxdy = rdrd\theta$，积分变为：
    $\iint_D (x-y)dxdy = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} d\theta \int_0^{2(\sin\theta + \cos\theta)} r(\cos\theta - \sin\theta) \cdot rdrd\theta$

  3. 内层积分计算：
    对 $r$ 积分：
    $\int_0^{2(\sin\theta + \cos\theta)} r^2(\cos\theta - \sin\theta) dr = (\cos\theta - \sin\theta) \cdot \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{2(\sin\theta + \cos\theta)} = \frac{8}{3}(\sin\theta + \cos\theta)^3 (\cos\theta - \sin\theta)$

  4. 外层积分计算：
    令 $t = \sin\theta + \cos\theta$，则 $dt = (\cos\theta - \sin\theta)d\theta$，积分变为：
    $\frac{8}{3} \int t^3 dt = \frac{8}{3} \cdot \frac{t^4}{4} = \frac{2}{3}t^4$
    代入 $t(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$，$t(\frac{3\pi}{4}) = 0$，得：
    $\frac{2}{3}(0^4 - (\sqrt{2})^4) = \frac{2}{3}(0 - 4) = -\frac{8}{3}$

方法二：平移变换

  1. 平移简化区域：令 $u = x - 1$，$v = y - 1$，则 $D' = \{u^2 + v^2 \leq 2, v \geq u\}$，积分变为：
    $\iint_{D'} (u - v)dudv$

  2. 对称性分析：
    圆域 $u^2 + v^2 \leq 2$ 关于直线 $v = -u$ 对称，$\iint_{D'} u dudv = 0$（奇函数对称性），仅需计算 $-\iint_{D'} v dudv$。

  3. 极坐标计算：
    $v = r\sin\theta$，$dudv = rdrd\theta$，积分：
    $-\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} d\theta \int_0^{\sqrt{2}} r\sin\theta \cdot rdrd\theta = -\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin\theta d\theta \cdot \int_0^{\sqrt{2}} r^2 dr = -\frac{4}{3} \cdot (\cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4}) = -\frac{8}{3}$