估计下列各积分的值:-|||-(1) (int )_(1)^4((x)^2+1)dx;-|||-(2) (int )_(dfrac {pi )(4)}^dfrac (5{4)pi }(1+(sin )^2x)dx;-|||-(3) (int )_(dfrac {1)(sqrt {3)}}^sqrt (3)xarctan xdx;-|||-(4) (int )_(2)^0(e)^(x^2)-xdx.

1. 积分比较定理：通过找到被积函数在区间上的上下界，利用积分的保序性估计积分范围。
2. 三角函数有界性：利用$\sin^2 x$的取值范围简化积分估计。
3. 单调函数性质：通过函数单调性确定被积函数的极值，进而估计积分。
4. 极值应用：对指数函数的指数部分求极值，结合积分保序性估计范围。

第（1）题

确定被积函数范围

在区间$[1,4]$上，$x^2$的最小值为$1^2=1$，最大值为$4^2=16$，因此：
$2 \leq x^2 + 1 \leq 17$

应用积分比较定理

对上下界函数积分：
$\int_1^4 2 \, dx = 2(4-1) = 6, \quad \int_1^4 17 \, dx = 17(4-1) = 51$

第（2）题

利用三角函数有界性

$\sin^2 x \in [0,1]$，因此：
$1 \leq 1 + \sin^2 x \leq 2$

积分区间长度

区间$\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5}{4}\pi\right]$的长度为$\pi$，故：
$\int_{\pi/4}^{5\pi/4} 1 \, dx = \pi, \quad \int_{\pi/4}^{5\pi/4} 2 \, dx = 2\pi$

第（3）题

分析函数单调性

求导$f'(x) = \arctan x + \dfrac{x}{1+x^2}$，在$[\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}]$上$f'(x) > 0$，故$f(x)$单调递增。

确定端点值

$f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{\pi}{6\sqrt{3}}, \quad f(\sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{\sqrt{3}}$

积分区间长度

区间长度为$\sqrt{3} - \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$，故：
$\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \dfrac{\pi}{6\sqrt{3}} \, dx = \dfrac{\pi}{9}, \quad \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \dfrac{\pi}{\sqrt{3}} \, dx = \dfrac{2\pi}{3}$

第（4）题

求极值点

$f(x) = x^2 - x$，导数$f'(x) = 2x - 1$，临界点$x = \dfrac{1}{2}$。计算得：
$f(0) = 0, \quad f\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{4}, \quad f(2) = 2$

积分估计

$\int_0^2 e^{-1/4} \, dx = 2e^{-1/4}, \quad \int_0^2 e^{2} \, dx = 2e^{2}$
原积分上下限为：
$-2e^{2} \leq \int_2^0 e^{x^2 - x} \, dx \leq -2e^{-1/4}$