题目
lim _(x arrow 0^-) e^(1)/(x)=________.
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} e^{\frac{1}{x}}=\_\_\_\_\_\_\_\_.$
题目解答
答案
我们来求解极限：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} e^{\frac{1}{x}}
$$
---
### 第一步：分析指数部分
我们先看指数部分：
$$
\frac{1}{x}
$$
当 $ x \rightarrow 0^{-} $，也就是从左边趋近于 0，此时 $ x $ 是一个**负的极小值**，因此：
$$
\frac{1}{x} \rightarrow -\infty
$$
---
### 第二步：代入指数函数
现在我们有：
$$
e^{\frac{1}{x}} \rightarrow e^{-\infty}
$$
而指数函数 $ e^{-\infty} $ 的值是：
$$
e^{-\infty} = 0
$$
---
### 最终答案：
$$
\boxed{0}
$$
---
### 总结：
当 $ x \rightarrow 0^{-} $，指数 $ \frac{1}{x} \rightarrow -\infty $，所以 $ e^{\frac{1}{x}} \rightarrow 0 $。
解析
本题考查函数极限的计算，特别是指数函数在特定趋近情况下的极限。解题思路是先分析指数部分在给定趋近条件下的极限，再将该极限代入指数函数中求解最终结果。
- 分析指数部分的极限：
- 对于指数部分$\frac{1}{x}$，当$x\rightarrow0^{-}$时，意味着$x$从小于$0$的方向无限趋近于$0$，此时$x$是一个负的极小值。
- 根据极限的性质，当分母$x$趋近于$0$且为负数时，$\frac{1}{x}$趋近于负无穷，即$\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$。
- 计算原函数的极限：
- 令$t = \frac{1}{x}$，则原极限$\lim_{x\rightarrow0^{-}}e^{\frac{1}{x}}$可转化为$\lim_{t\rightarrow-\infty}e^{t}$。
- 对于指数函数$y = e^{t}$，当$t\rightarrow-\infty$时，根据指数函数的性质，$e^{t}=\frac{1}{e^{-t}}$，当$t\rightarrow-\infty$，$-t\rightarrow+\infty$，$e^{-t}\rightarrow+\infty$，所以$\lim_{t\rightarrow-\infty}e^{t}=\lim_{t\rightarrow-\infty}\frac{1}{e^{-t}} = 0$。