题目
没数列(xn)有界,又 lim _(narrow infty )(y)_(n)=0.没数列(xn)有界,又 lim _(narrow infty )(y)_(n)=0..
.
题目解答
答案
证：
因为
有界，故
，使得对一切
均有
又 
时，总有:
从而
所以：
解析
步骤 1：定义有界数列
数列{xn}有界，意味着存在一个正数M，使得对于所有的n，都有$|x_n| \leq M$。
步骤 2：利用极限的定义
由于$\lim_{n\rightarrow \infty} y_n = 0$，根据极限的定义，对于任意的$\varepsilon > 0$，存在一个正整数N，使得当$n > N$时，有$|y_n - 0| = |y_n| < \frac{\varepsilon}{M}$。
步骤 3：证明$x_ny_n$的极限为0
对于任意的$\varepsilon > 0$，当$n > N$时，有
$$|x_ny_n - 0| = |x_n||y_n| < M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon$$
这表明$\lim_{n\rightarrow \infty} x_ny_n = 0$。
数列{xn}有界，意味着存在一个正数M，使得对于所有的n，都有$|x_n| \leq M$。
步骤 2：利用极限的定义
由于$\lim_{n\rightarrow \infty} y_n = 0$，根据极限的定义，对于任意的$\varepsilon > 0$，存在一个正整数N，使得当$n > N$时，有$|y_n - 0| = |y_n| < \frac{\varepsilon}{M}$。
步骤 3：证明$x_ny_n$的极限为0
对于任意的$\varepsilon > 0$，当$n > N$时，有
$$|x_ny_n - 0| = |x_n||y_n| < M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon$$
这表明$\lim_{n\rightarrow \infty} x_ny_n = 0$。