题目
19.(简答题) 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现存量 R 成正比。由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量R_(0) 的一半。试求镭的现存量 R 与时间 t 的函数关系。
19.(简答题) 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现存量 R 成正比。由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量$R_{0}$ 的一半。试求镭的现存量 R 与时间 t 的函数关系。
题目解答
答案
根据题目，镭的衰变速度与现存量 $ R $ 成正比，可建立微分方程：
\[
\frac{dR}{dt} = -\lambda R
\]
分离变量并积分得：
\[
\ln R = -\lambda t + C_1 \quad \Rightarrow \quad R = C e^{-\lambda t}
\]
由初始条件 $ R(0) = R_0 $，得 $ C = R_0 $，故：
\[
R = R_0 e^{-\lambda t}
\]
再由 $ R(1600) = \frac{1}{2}R_0 $，解得：
\[
\lambda = \frac{\ln 2}{1600}
\]
代入得最终函数关系：
\[
\boxed{R = R_0 e^{-\frac{\ln 2}{1600} t}}
\]
或等价表示为：
\[
\boxed{R = R_0 \cdot 2^{-\frac{t}{1600}}}
\]