题目

某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率;(2)假设0<p<q.(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?

某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率;
(2)假设0<p<q.
(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?

题目解答

答案

解:(1)由甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,得甲、乙分别在3次投篮中至少投中1次,
故所求概率为 $%281-0.6%5E3%29%281-0.5%5E3%29%3D0.686$ .

(2)(i)比赛成绩为15分时,先投者3次投篮中至少投中1次,后投者3次投篮全中.
分两种情况:甲先乙后、乙先甲后.
甲先乙后比赛成绩为15分的概率 $p_1%3D%5B1-%281-p%29%5E3%5Dq%5E3%3D3pq%5E3-3p%5E2q%5E3%2Bp%5E3q%5E3%2C$
乙先甲后比赛成绩为15分的概率 $p_1%3D%5B1-%281-q%29%5E3%5Dp%5E3%3D3qp%5E3-3q%5E2p%5E3%2Bp%5E3q%5E3%2C$
则 $p_1-p_2%3D3pq%28q%5E2-p%5E2%29-3p%5E2q%5E2%28q-p%29%3D3pq%28q-p%29%5B1-%281-p%29%281-q%29%5D%3E0%2C$
$%5Ctherefore%20p_1%3Ep_2%2C$
∴应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)甲先乙后比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15.
$P%28X%3D0%29%3D%281-p%29%5E3%2B%5B1-%281-p%29%5E3%5D%281-q%29%5E3%2CP%28X%3D5%29%3D%5Cleft%5B1-%281-p%29%5E3%5Cright%5DC_3%5E1q%281-q%29%5E2%2CP%28X%3D10%29%3D%5Cleft%5B1-%281-p%29%5E3%5Cright%5DC_3%5E2q%281-q%29%2CP%28X%3D15%29%3D%5Cleft%5B1-%281-p%29%5E3%5Cright%5Dq%5E3%2C$

故 $E%5Cleft%28X%5Cright%29%3D%5B1-%281-p%29%5E3%5D%5Cleft%5B15q%281-q%29%2B30q%5E2%281-q%29%2B15q%5E3%5Cright%5D%3D15q%5Cleft%283p-3p%5E2%2Bp%5E3%5Cright%29.$

乙先甲后比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15,
同理可得, $E%5Cleft%28Y%5Cright%29%3D%5B1-%281-q%29%5E3%5D%5Cleft%5B15p%281-p%29%2B30p%5E2%281-p%29%2B15p%5E3%5Cright%5D%3D15p%5Cleft%283q-3q%5E2%2Bq%5E3%5Cright%29.$
$%5Cbecause%20E%28X%29-E%28Y%29%3D15pq%28q-p%29%283-p-q%29%3E0%2C$
∴应由甲参加第一阶段比赛.

解析

步骤 1：计算甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率
甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，意味着甲在第一阶段至少投中一次，乙在第二阶段至少投中一次。甲在第一阶段至少投中一次的概率为$1 - (1-p)^3$，乙在第二阶段至少投中一次的概率为$1 - (1-q)^3$。因此，甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为$(1 - (1-p)^3)(1 - (1-q)^3)$。
步骤 2：计算甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率
甲、乙所在队的比赛成绩为15分，意味着甲在第一阶段至少投中一次，乙在第二阶段三次都投中。甲在第一阶段至少投中一次的概率为$1 - (1-p)^3$，乙在第二阶段三次都投中的概率为$q^3$。因此，甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为$(1 - (1-p)^3)q^3$。
步骤 3：计算甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望
甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望为$E(X) = 0 \times P(X=0) + 5 \times P(X=5) + 10 \times P(X=10) + 15 \times P(X=15)$，其中$P(X=0) = (1-p)^3$，$P(X=5) = 3p(1-p)^2q(1-q)^2$，$P(X=10) = 3p(1-p)^2q^2(1-q)$，$P(X=15) = p^3q^3$。