求极限lim_(ntoinfty)((1)/(n^2)+1+1+(2)/(n^2)+2+1+...+(n)/(n^2)+n+1).(5分)
题目解答
答案
将原式记为 $ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k + 1} $。
观察分母 $ n^2 + k + 1 $，当 $ n \to \infty $ 时，$ k $ 的取值范围为 $ 1 $ 到 $ n $，因此 $ n^2 + k + 1 $ 近似于 $ n^2 $。
可以将 $ S_n $ 放缩为：
$\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + n + 1} \leq S_n \leq \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + 1 + 1}$
但注意到 $ n^2 + k + 1 $ 的范围是 $ n^2 + 2 $ 到 $ n^2 + n + 1 $，故更精确的放缩为：
$\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + n + 1} \leq S_n \leq \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + 2}$
计算左右两边的和：
$\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + n + 1} = \frac{1}{n^2 + n + 1} \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{n^2 + n + 1} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2(n^2 + n + 1)}$
$\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + 2} = \frac{1}{n^2 + 2} \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{n^2 + 2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2(n^2 + 2)}$
当 $ n \to \infty $ 时，
$\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2 + n + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{2n^2 + 2n + 2} = \frac{1}{2}$
$\lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2 + 2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{2n^2 + 4} = \frac{1}{2}$
由夹逼准则，$ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} $。
答案： $\frac{1}{2}$
解析
本题考查数列极限的的求解，解题思路是通过放放缩法将原式转化为便于计算的形式，再利用夹逼准则求出极限。
- 首先将原式记为 $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k + 1}$。
- 观察分母 $n^2 + k + 1$，当 $n \to \infty$ 时，$k$ 的取值范围为 $1$ 到 $n$，因此 $n^ + k + 1$ 近似于 $n^$。
- 为了求出 $S_n$ 的极限，我们对 $S_n$ 进行放缩。因为 $n^ + k + 1$ 的范围是 $n^ + 2$ 到 $n^ + n + 1$，所以有：
$1) \( \_{k=1}^n \frac{k}{n^ + n + 1} \leq S_n \leq \_{k=1}^n \frac{k}{n^ + 2}$。 - 接下来分别计算左右两边的和：
(1. 计算 $\_{k=1}^n \frac{k}{n^ + n + 1}$：
根据等差数列求和公式 $\_{k=1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2}$，可得：
$\_{k=1}^n \frac{k}{n^ + n + 1} = \frac{1}{n^ + n + 1} \_{k=1}^n k = \frac{1}{n^ + n + 1} \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n(n + 1)}{2(n^ + n + 1)}$。 - 计算 $\_{k=1}^n} \frac{k}{n^ + 2}$：
同样根据等差数列求和公式，可得：
$\_{k=1}^n \frac{k}{n^ + 2} = \frac{1}{n^ + 2} \_{k=1}^n k = \frac{1}{n^ + 2} \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n(n + 1)}{2(n^ + 2)}$。 - 然后求当 $n \to \infty$ 时左右两边和的极限：
- 求 $\lim_{n \to \infty} \frac{n(n + 1)}{2(n^ + n + 1)}$：
分子分母同时除以 $n^$，可得：
$\lim_{n \to \infty} \frac{n(n + 1)}{2(n^ + n + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^ + n}{2n^ + 2n + 2} = \frac{1}{2}$。 - 求 $\lim_{n \to \infty} \frac{n(n + 1)}{2(n^ + 2)}$：
分子分母同时除以 $n^$，可得：
$\lim_{n \to \infty} \frac{n(n + 1)}{2(n^ + 2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^ + n}{2n^ + 4} = \frac{1}{2}$。 - 最后根据夹逼准则，因为 $\lim_{n \to \infty} \frac{n(n + 1)}{2(n^ + n + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n + 1)}{2(n^ + 2)} = \frac{1}{2}$，所以 $\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2}$。