求向量组 _(1)=(1,0,-2), _(2)=(-2,-1,3) _(3)=(3,1,-5) _(4)=(1,-1,3)的一个极大无关组， 并把其余向量用这个极大无关组线性表示出来。

考查要点：本题主要考查向量组极大无关组的求解方法，以及用极大无关组线性表示其他向量的能力。

解题核心思路：

1. 构造矩阵：将向量组作为列向量组成矩阵，通过行变换化为阶梯形，确定主列对应的极大无关组。
2. 线性表示：通过解线性方程组，将非主列向量用主列向量线性表示。

破题关键点：

• 矩阵的秩：通过行变换确定矩阵的秩，即极大无关组的大小。
• 主元位置：主元所在列对应的原向量构成极大无关组。
• 回代求解：利用行简化阶梯形矩阵回代，求出线性组合系数。

步骤1：构造矩阵并进行行变换
将向量组作为列向量组成矩阵：
$A = \begin{bmatrix}1 & -2 & 3 & 1 \\0 & -1 & 1 & -1 \\-2 & 3 & -5 & 3\end{bmatrix}$

通过行变换化为阶梯形：

1. 第三行加2倍第一行：
   $R3 \leftarrow R3 + 2R1 \Rightarrow \begin{bmatrix}0 & -1 & 1 & 5\end{bmatrix}$
2. 第三行减第二行：
   $R3 \leftarrow R3 - R2 \Rightarrow \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 6\end{bmatrix}$

最终阶梯形矩阵为：
$\begin{bmatrix}1 & -2 & 3 & 1 \\0 & -1 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 6\end{bmatrix}$

步骤2：确定极大无关组
主元位于第1、2、4列，对应原矩阵的列向量$a_1, a_2, a_4$，故极大无关组为$\{a_1, a_2, a_4\}$。

步骤3：将$a_3$用极大无关组表示
设$a_3 = k_1 a_1 + k_2 a_2 + k_4 a_4$，列方程组：
$\begin{cases}k_1 - 2k_2 + k_4 = 3 \\-k_2 - k_4 = 1 \\-2k_1 + 3k_2 + 3k_4 = -5\end{cases}$

解得：$k_1 = 1, k_2 = -1, k_4 = 0$，即：
$a_3 = a_1 - a_2 + 0 \cdot a_4$