题目
设A.B.C.D为n阶方阵,E为n阶单位阵,则下列命题正确的是( )A若^2=0,则A=0B^2=0,则A=0或A=EC若AB=AC且A≠0,则B=C D若AB=BA,则^2=0
设$$A.B.C.D$$为$$n$$阶方阵,$$E$$为$$n$$阶单位阵,则下列命题正确的是( )
A若
,则$$A=0$$
B
,则$$A=0$$或$$A=E$$
C若$$AB=AC$$且$$A≠0$$,则$$B=C$$
D若$$AB=BA,$$则
题目解答
答案
D. 若$$AB=BA,$$则${(A+B)}^{2}={A}^{2}+2AB+{B}^{2}$
解析
步骤 1：分析选项A
若${A}^{2}=0$，则矩阵$A$是幂零矩阵，但不意味着$A=0$。例如，矩阵$A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$满足${A}^{2}=0$，但$A\neq 0$。
步骤 2：分析选项B
若${A}^{2}=A$，则矩阵$A$是幂等矩阵，但不意味着$A=0$或$A=E$。例如，矩阵$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$满足${A}^{2}=A$，但$A\neq 0$且$A\neq E$。
步骤 3：分析选项C
若$AB=AC$且$A\neq 0$，则不能推出$B=C$。例如，矩阵$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$，满足$AB=AC$，但$B\neq C$。
步骤 4：分析选项D
若$AB=BA$，则${(A+B)}^{2}={A}^{2}+2AB+{B}^{2}$。因为$AB=BA$，所以${(A+B)}^{2}=A^2+AB+BA+B^2=A^2+2AB+B^2$。
若${A}^{2}=0$，则矩阵$A$是幂零矩阵，但不意味着$A=0$。例如，矩阵$A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$满足${A}^{2}=0$，但$A\neq 0$。
步骤 2：分析选项B
若${A}^{2}=A$，则矩阵$A$是幂等矩阵，但不意味着$A=0$或$A=E$。例如，矩阵$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$满足${A}^{2}=A$，但$A\neq 0$且$A\neq E$。
步骤 3：分析选项C
若$AB=AC$且$A\neq 0$，则不能推出$B=C$。例如，矩阵$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$，满足$AB=AC$，但$B\neq C$。
步骤 4：分析选项D
若$AB=BA$，则${(A+B)}^{2}={A}^{2}+2AB+{B}^{2}$。因为$AB=BA$，所以${(A+B)}^{2}=A^2+AB+BA+B^2=A^2+2AB+B^2$。