题目
=sqrt (xsin xsqrt {1-{e)^x}}.
.
题目解答
答案
两边取对数得
,
两边求导得
,
于是 
.
解析
步骤 1：对给定的函数进行对数变换
给定函数 $y=\sqrt {x\sin x\sqrt {1-{e}^{x}}}$，我们首先对两边取自然对数，得到 $\ln y=\ln \sqrt {x\sin x\sqrt {1-{e}^{x}}}$。利用对数的性质，可以将根号下的乘积转换为对数的和，即 $\ln y=\dfrac {1}{2}\ln x+\dfrac {1}{2}\ln \sin x+\dfrac {1}{4}\ln (1-{e}^{x})$。
步骤 2：对变换后的等式求导
对 $\ln y=\dfrac {1}{2}\ln x+\dfrac {1}{2}\ln \sin x+\dfrac {1}{4}\ln (1-{e}^{x})$ 两边对 $x$ 求导，得到 $\dfrac {1}{y}y'=\dfrac {1}{2x}+\dfrac {1}{2}\cot x-\dfrac {{e}^{x}}{4(1-{e}^{x})}$。这里利用了对数函数的导数公式 $\dfrac {d}{dx}\ln u=\dfrac {1}{u}\dfrac {du}{dx}$，以及链式法则。
步骤 3：求解 $y'$
将 $\dfrac {1}{y}y'=\dfrac {1}{2x}+\dfrac {1}{2}\cot x-\dfrac {{e}^{x}}{4(1-{e}^{x})}$ 两边乘以 $y$，得到 $y'=\left(\dfrac {1}{2x}+\dfrac {1}{2}\cot x-\dfrac {{e}^{x}}{4(1-{e}^{x})}\right)y$。将 $y=\sqrt {x\sin x\sqrt {1-{e}^{x}}}$ 代入，得到最终的 $y'$ 表达式。
给定函数 $y=\sqrt {x\sin x\sqrt {1-{e}^{x}}}$，我们首先对两边取自然对数，得到 $\ln y=\ln \sqrt {x\sin x\sqrt {1-{e}^{x}}}$。利用对数的性质，可以将根号下的乘积转换为对数的和，即 $\ln y=\dfrac {1}{2}\ln x+\dfrac {1}{2}\ln \sin x+\dfrac {1}{4}\ln (1-{e}^{x})$。
步骤 2：对变换后的等式求导
对 $\ln y=\dfrac {1}{2}\ln x+\dfrac {1}{2}\ln \sin x+\dfrac {1}{4}\ln (1-{e}^{x})$ 两边对 $x$ 求导，得到 $\dfrac {1}{y}y'=\dfrac {1}{2x}+\dfrac {1}{2}\cot x-\dfrac {{e}^{x}}{4(1-{e}^{x})}$。这里利用了对数函数的导数公式 $\dfrac {d}{dx}\ln u=\dfrac {1}{u}\dfrac {du}{dx}$，以及链式法则。
步骤 3：求解 $y'$
将 $\dfrac {1}{y}y'=\dfrac {1}{2x}+\dfrac {1}{2}\cot x-\dfrac {{e}^{x}}{4(1-{e}^{x})}$ 两边乘以 $y$，得到 $y'=\left(\dfrac {1}{2x}+\dfrac {1}{2}\cot x-\dfrac {{e}^{x}}{4(1-{e}^{x})}\right)y$。将 $y=\sqrt {x\sin x\sqrt {1-{e}^{x}}}$ 代入，得到最终的 $y'$ 表达式。