5.[单选题]【单选题】设int f(x)dx=F(x)+c，且x=at+b则int f(at+b)dt()A. F(x)+cB. F(t)+cC. (1)/(a)F(at+b)+cD. F(at+b)+c

本题考查不定积分的换元积分法。解题的关键思路是通过换元将被积函数转化为已知形式，然后利用不定积分的基本性质进行计算。

1. 设$u = at + b$，对$u$求关于$t$的导数：
   • 根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，可得$du = a dt$，进一步变形得到$dt=\frac{1}{a}du$。
2. 将$u = at + b$和$dt=\frac{1}{a}du$代入$\int f(at + b)dt$中：
   • 则$\int f(at + b)dt=\int f(u)\cdot\frac{1}{a}du$。
3. 根据不定积分的性质$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$（$k$为常数）：
   • 因为$\frac{1}{a}$是常数，所以$\int f(u)\cdot\frac{1}{a}du=\frac{1}{a}\int f(u)du$。
4. 已知$\int f(x)dx = F(x) + c$，由于积分变量可以用任意字母表示，所以$\int f(u)du = F(u) + c$：
   • 那么$\frac{1}{a}\int f(u)du=\frac{1}{a}(F(u)+c)=\frac{1}{a}F(u)+\frac{1}{a}c$。
   • 因为$\frac{1}{a}c$仍然是常数，可将其记为$c$。
5. 再把$u = at + b$代回：
   • 得到$\frac{1}{a}F(u)+c=\frac{1}{a}F(at + b)+c$。