题目
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sqrt(2)cosθ．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足overrightarrow(AP)=sqrt(2)overrightarrow(AM)，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cosθ．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{AM}$，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{AM}$，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．
题目解答
答案
解：（1）由极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cosθ，得ρ2=2$\sqrt{2}$ρcosθ，
化为直角坐标方程是x2+y2=2$\sqrt{2}$x，
即${（x-\sqrt{2}）}^{2}$+y2=2，表示圆心为C（$\sqrt{2}$，0），半径为$\sqrt{2}$的圆．
（2）设点P的直角坐标为（x，y），M（x1，y1），因为A（1，0），
所以$\overrightarrow{AP}$=（x-1，y），$\overrightarrow{AM}$=（x1-1，y1），
由$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{AM}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\sqrt{2}{（x}_{1}-1）}\\{y={\sqrt{2}y}_{1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）+1}\\{{y}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}y}\end{array}\right.$，
所以M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1）+1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$y），代入C的方程得${[\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）+1-\sqrt{2}]}^{2}$+${（\frac{\sqrt{2}}{2}y）}^{2}$=2，
化简得点P的轨迹方程是${（x-3+\sqrt{2}）}^{2}$+y2=4，表示圆心为C1（3-$\sqrt{2}$，0），半径为2 的圆；
化为参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\sqrt{2}+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，θ为参数；
计算|CC1|=|（3-$\sqrt{2}$）-$\sqrt{2}$|=3-2$\sqrt{2}$＜2-$\sqrt{2}$，
所以圆C与圆C1内含，没有公共点．
化为直角坐标方程是x2+y2=2$\sqrt{2}$x，
即${（x-\sqrt{2}）}^{2}$+y2=2，表示圆心为C（$\sqrt{2}$，0），半径为$\sqrt{2}$的圆．
（2）设点P的直角坐标为（x，y），M（x1，y1），因为A（1，0），
所以$\overrightarrow{AP}$=（x-1，y），$\overrightarrow{AM}$=（x1-1，y1），
由$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{AM}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\sqrt{2}{（x}_{1}-1）}\\{y={\sqrt{2}y}_{1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）+1}\\{{y}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}y}\end{array}\right.$，
所以M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1）+1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$y），代入C的方程得${[\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）+1-\sqrt{2}]}^{2}$+${（\frac{\sqrt{2}}{2}y）}^{2}$=2，
化简得点P的轨迹方程是${（x-3+\sqrt{2}）}^{2}$+y2=4，表示圆心为C1（3-$\sqrt{2}$，0），半径为2 的圆；
化为参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\sqrt{2}+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，θ为参数；
计算|CC1|=|（3-$\sqrt{2}$）-$\sqrt{2}$|=3-2$\sqrt{2}$＜2-$\sqrt{2}$，
所以圆C与圆C1内含，没有公共点．
解析
步骤 1：将极坐标方程化为直角坐标方程
由极坐标方程ρ=2$\sqrt{2}$cosθ，两边同时乘以ρ，得到ρ^{2}=2$\sqrt{2}$ρcosθ。根据极坐标与直角坐标的关系，ρ^{2}=x^{2}+y^{2}，ρcosθ=x，代入得到x^{2}+y^{2}=2$\sqrt{2}$x，进一步整理得到${（x-\sqrt{2}）}^{2}$+y^{2}=2，表示圆心为C（$\sqrt{2}$，0），半径为$\sqrt{2}$的圆。
步骤 2：确定点P的轨迹方程
设点P的直角坐标为（x，y），M（x_1，y_1），因为A（1，0），所以$\overrightarrow{AP}$=（x-1，y），$\overrightarrow{AM}$=（x_1-1，y_1）。由$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{AM}$，得到$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\sqrt{2}{（x}_{1}-1）}\\{y={\sqrt{2}y}_{1}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）+1}\\{{y}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}y}\end{array}\right.$，代入C的方程得${[\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）+1-\sqrt{2}]}^{2}$+${（\frac{\sqrt{2}}{2}y）}^{2}$=2，化简得${（x-3+\sqrt{2}）}^{2}$+y^{2}=4，表示圆心为C_1（3-$\sqrt{2}$，0），半径为2的圆。
步骤 3：判断C与C_1是否有公共点
计算|CC_1|=|（3-$\sqrt{2}$）-$\sqrt{2}$|=3-2$\sqrt{2}$＜2-$\sqrt{2}$，所以圆C与圆C_1内含，没有公共点。
由极坐标方程ρ=2$\sqrt{2}$cosθ，两边同时乘以ρ，得到ρ^{2}=2$\sqrt{2}$ρcosθ。根据极坐标与直角坐标的关系，ρ^{2}=x^{2}+y^{2}，ρcosθ=x，代入得到x^{2}+y^{2}=2$\sqrt{2}$x，进一步整理得到${（x-\sqrt{2}）}^{2}$+y^{2}=2，表示圆心为C（$\sqrt{2}$，0），半径为$\sqrt{2}$的圆。
步骤 2：确定点P的轨迹方程
设点P的直角坐标为（x，y），M（x_1，y_1），因为A（1，0），所以$\overrightarrow{AP}$=（x-1，y），$\overrightarrow{AM}$=（x_1-1，y_1）。由$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{AM}$，得到$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\sqrt{2}{（x}_{1}-1）}\\{y={\sqrt{2}y}_{1}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）+1}\\{{y}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}y}\end{array}\right.$，代入C的方程得${[\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）+1-\sqrt{2}]}^{2}$+${（\frac{\sqrt{2}}{2}y）}^{2}$=2，化简得${（x-3+\sqrt{2}）}^{2}$+y^{2}=4，表示圆心为C_1（3-$\sqrt{2}$，0），半径为2的圆。
步骤 3：判断C与C_1是否有公共点
计算|CC_1|=|（3-$\sqrt{2}$）-$\sqrt{2}$|=3-2$\sqrt{2}$＜2-$\sqrt{2}$，所以圆C与圆C_1内含，没有公共点。