题目
填空题（共8题，32.0分）6.（4.0分）已知三阶方阵A的特征值是λ，2，3，且有|2A|=144，则λ=____.
填空题（共8题，32.0分）
6.（4.0分）
已知三阶方阵A的特征值是λ，2，3，且有|2A|=144，则λ=____.
题目解答
答案
为了求解特征值 $\lambda$，我们首先需要使用矩阵特征值的性质。已知三阶方阵 $A$ 的特征值是 $\lambda$，2，3，且 $|2A| = 144$。我们使用以下性质：
1. 矩阵 $A$ 的行列式等于其特征值的乘积，即 $|A| = \lambda \cdot 2 \cdot 3 = 6\lambda$。
2. 对于常数 $k$ 和 $n$ 阶方阵 $A$，有 $|kA| = k^n |A|$。因为 $A$ 是三阶方阵，所以 $|2A| = 2^3 |A| = 8|A|$。
根据题目，我们有 $|2A| = 144$，因此可以写成：
\[
8|A| = 144
\]
将 $|A| = 6\lambda$ 代入上式，得到：
\[
8 \cdot 6\lambda = 144
\]
化简左边，得到：
\[
48\lambda = 144
\]
解这个方程，得到：
\[
\lambda = \frac{144}{48} = 3
\]
因此，$\lambda$ 的值是 $\boxed{3}$。
解析
本题考查矩阵特征值的性质以及矩阵行列式的性质。解题思路如下：
- 首先，根据矩阵特征值的性质，对于一个$n$阶方阵$A$，其行列式$\vert A\vert$等于其所有特征值的乘积。已知三阶方阵$A$的特征值是$\lambda$，$2$，$3$，那么可得$\vert A\vert=\lambda\times2\times3 = 6\lambda$。
- 其次，根据矩阵行列式的性质，对于常数$k$和$n$阶方阵$A$，有$\vert kA\vert=k^n\vert A\vert$。因为$A$是三阶方阵，所以$\vert 2A\vert = 2^3\vert A\vert$。计算$2^3=8$，则$\vert 2A\vert = 8\vert A\vert$。
- 已知$\vert 2A\vert = 144$，将$\vert A\vert = 6\lambda$代入$\vert 2A\vert = 8\vert A\vert$中，得到$8\times6\lambda = 144$。
- 化简方程$8\times6\lambda = 144$，先计算$8\times6 = 48$，则方程变为$48\lambda = 144$。
- 求解$\lambda$，根据等式的性质，等式两边同时除以$48$，即$\lambda=\frac{144}{48}=3$。