题目

向量组 alpha_1 = (-1, k, -1), alpha_2 = (2, -1, k), alpha_3 = (1, -1, 1) 线性相关，k 为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5

向量组 $\alpha_1 = (-1, k, -1)$, $\alpha_2 = (2, -1, k)$, $\alpha_3 = (1, -1, 1)$ 线性相关，$k$ 为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

题目解答

答案

我们来分析这道题： 题目给出三个三维向量： - $\alpha_1 = (-1, k, -1)$ - $\alpha_2 = (2, -1, k)$ - $\alpha_3 = (1, -1, 1)$ 要求判断在什么 $k$ 值下，这三个向量**线性相关**。 --- ### 一、线性相关的定义： 一组向量线性相关，当且仅当它们的**行列式为零**（如果它们是 $n$ 个 $n$ 维向量），或者等价地说，**存在不全为零的常数 $c_1, c_2, c_3$**，使得： $$ c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 + c_3 \alpha_3 = 0 $$ --- ### 二、构造矩阵并计算行列式： 我们把这三个向量作为列向量，构造一个 $3 \times 3$ 矩阵： $$ A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ k & -1 & -1 \\ -1 & k & 1 \end{bmatrix} $$ 这三个向量线性相关，当且仅当矩阵 $A$ 的行列式为 0： $$ \det(A) = 0 $$ 我们来计算这个行列式： --- ### 三、计算行列式： $$ \det(A) = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ k & -1 & -1 \\ -1 & k & 1 \end{vmatrix} $$ 我们按第一行展开： $$ \det(A) = -1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ k & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} k & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} k & -1 \\ -1 & k \end{vmatrix} $$ 分别计算每个 2 阶行列式： - $\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ k & 1 \end{vmatrix} = (-1)(1) - (-1)(k) = -1 + k$ - $\begin{vmatrix} k & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = k(1) - (-1)(-1) = k - 1$ - $\begin{vmatrix} k & -1 \\ -1 & k \end{vmatrix} = k^2 - 1$ 代入原式： $$ \det(A) = -1(-1 + k) - 2(k - 1) + (k^2 - 1) $$ 展开： $$ = (1 - k) - 2k + 2 + k^2 - 1 $$ 合并同类项： $$ = k^2 - 3k + 2 $$ --- ### 四、令行列式为 0： $$ k^2 - 3k + 2 = 0 $$ 解这个方程： $$ (k - 1)(k - 2) = 0 \Rightarrow k = 1 \text{ 或 } k = 2 $$ --- ### 五、判断选项： 题目选项为： A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 我们得到 $k = 1$ 或 $k = 2$，所以只有 **A. 2** 是正确选项。 --- ### ✅ 最终答案： $$ \boxed{\text{A. 2}} $$

解析

考查要点：本题主要考查向量组线性相关的判定条件，以及行列式的计算方法。

解题核心思路：
三个三维向量线性相关，当且仅当由它们构成的矩阵的行列式为零。因此，构造矩阵并计算其行列式，解方程得到$k$的值即可。

破题关键点：

  1. 正确构造矩阵：将向量作为列向量排列成$3 \times 3$矩阵。
  2. 准确计算行列式：通过展开式或行变换求出行列式表达式。
  3. 解二次方程：令行列式等于零，解出$k$的可能值，并与选项匹配。

将向量$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$作为列向量构造矩阵：
$A = \begin{bmatrix}-1 & 2 & 1 \\k & -1 & -1 \\-1 & k & 1\end{bmatrix}$

计算行列式：
$\det(A) = \begin{vmatrix}-1 & 2 & 1 \\k & -1 & -1 \\-1 & k & 1\end{vmatrix}$

按第一行展开：
$\det(A) = -1 \cdot \begin{vmatrix}-1 & -1 \\ k & 1\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}k & -1 \\ -1 & 1\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}k & -1 \\ -1 & k\end{vmatrix}$

逐项计算：

  1. $\begin{vmatrix}-1 & -1 \\ k & 1\end{vmatrix} = (-1)(1) - (-1)(k) = -1 + k$
  2. $\begin{vmatrix}k & -1 \\ -1 & 1\end{vmatrix} = k(1) - (-1)(-1) = k - 1$
  3. $\begin{vmatrix}k & -1 \\ -1 & k\end{vmatrix} = k^2 - 1$

代入展开式：
$\det(A) = -1(-1 + k) - 2(k - 1) + (k^2 - 1) = (1 - k) - 2k + 2 + k^2 - 1 = k^2 - 3k + 2$

解方程：
$k^2 - 3k + 2 = 0 \implies (k - 1)(k - 2) = 0 \implies k = 1 \text{ 或 } k = 2$

选项匹配：题目选项中只有$k = 2$（选项A）符合条件。