题目

1.证明：如果向量组alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性无关，则向量组alpha_(1)+2alpha_(2),alpha_(2)+2alpha_(3),2alpha_(3)+alpha_(1)也线性无关.

1.证明：如果向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，则向量组$\alpha_{1}+2\alpha_{2},\alpha_{2}+2\alpha_{3},2\alpha_{3}+\alpha_{1}$也线性无关.

题目解答

答案

为了证明向量组$\alpha_1 + 2\alpha_2, \alpha_2 + 2\alpha_3, 2\alpha_3 + \alpha_1$线性无关，我们需要证明唯一满足以下方程的标量$a, b, c$是$a = b = c = 0$: \[a(\alpha_1 + 2\alpha_2) + b(\alpha_2 + 2\alpha_3) + c(2\alpha_3 + \alpha_1) = 0.\] 首先，我们合并同类项： \[a\alpha_1 + 2a\alpha_2 + b\alpha_2 + 2b\alpha_3 + 2c\alpha_3 + c\alpha_1 = 0.\] 这可以重写为： \[(a + c)\alpha_1 + (2a + b)\alpha_2 + (2b + 2c)\alpha_3 = 0.\] 由于向量组$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的系数必须各自为零。因此，我们有以下方程组： \[a + c = 0,\] \[2a + b = 0,\] \[2b + 2c = 0.\] 我们可以逐步解决这个方程组。从第一个方程，我们得到： \[c = -a.\] 将$c = -a$代入第三个方程，我们得到： \[2b + 2(-a) = 0 \implies 2b - 2a = 0 \implies b = a.\] 现在将$b = a$代入第二个方程，我们得到： \[2a + a = 0 \implies 3a = 0 \implies a = 0.\] 由于$a = 0$，我们有$b = a = 0$和$c = -a = 0$。因此，唯一满足方程的解是$a = b = c = 0$。 这证明了向量组$\alpha_1 + 2\alpha_2, \alpha_2 + 2\alpha_3, 2\alpha_3 + \alpha_1$线性无关。最终答案是： \[\boxed{\text{向量组 } \alpha_1 + 2\alpha_2, \alpha_2 + 2\alpha_3, 2\alpha_3 + \alpha_1 \text{ 线性无关.}}\]

解析

考查要点：本题主要考查向量组线性无关性的证明方法，需要利用线性组合的系数唯一性进行推导。

解题核心思路：
假设存在线性组合$a(\alpha_1+2\alpha_2) + b(\alpha_2+2\alpha_3) + c(2\alpha_3+\alpha_1) = 0$，通过展开并整理$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的系数，结合原向量组线性无关的条件，建立方程组求解$a, b, c$。若唯一解为$a = b = c = 0$，则新向量组线性无关。

破题关键点：

  1. 展开并整理系数：将线性组合按$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$分组，得到系数表达式。
  2. 利用原向量组的线性无关性：根据$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的系数必须全为零，建立方程组。
  3. 解方程组验证唯一解：通过代入消元法逐步求解，最终证明$a = b = c = 0$。

步骤1：假设线性组合为零
设存在标量$a, b, c$，使得：
$a(\alpha_1 + 2\alpha_2) + b(\alpha_2 + 2\alpha_3) + c(2\alpha_3 + \alpha_1) = 0.$

步骤2：展开并整理同类项
展开后合并$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的系数：
$(a + c)\alpha_1 + (2a + b)\alpha_2 + (2b + 2c)\alpha_3 = 0.$

步骤3：利用原向量组的线性无关性
由于$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，其系数必须全为零：
$\begin{cases}a + c = 0, \\2a + b = 0, \\2b + 2c = 0.\end{cases}$

步骤4：解方程组

  1. 从第一式得：$c = -a$。
  2. 代入第三式：$2b + 2(-a) = 0 \implies b = a$。
  3. 代入第二式：$2a + a = 0 \implies a = 0$。
  4. 回代得：$b = a = 0$，$c = -a = 0$。

结论：唯一解为$a = b = c = 0$，故新向量组线性无关。