题目
21.计算二重积分 iint dfrac ({y)^2}({x)^2}dxdy, 其中D是由直线 x=2, y=x 与双曲线 xy=1 所-|||-围成的区域.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
根据题目描述，积分区域D是由直线x=2，y=x和双曲线xy=1所围成的区域。首先，画出这些曲线，确定它们的交点，从而确定积分区域D的边界。
步骤 2：确定积分区域的边界
通过解方程组，可以确定积分区域D的边界。对于直线x=2，y=x和双曲线xy=1，它们的交点分别为(1,1)和(2,1/2)。因此，积分区域D可以表示为：$1\leqslant x\leqslant 2$，$\dfrac {1}{x}\leqslant y\leqslant x$。
步骤 3：计算二重积分
根据步骤2中确定的积分区域，将二重积分化为累次积分。先沿y方向积分，再沿x方向积分。计算过程如下：
$\iint \dfrac {{y}^{2}}{{x}^{2}}dxdy={\int }_{1}^{2}dx{\int }_{\dfrac {1}{x}}^{x}\dfrac {{y}^{2}}{{x}^{2}}dy$。
步骤 4：计算内层积分
计算内层积分${\int }_{\dfrac {1}{x}}^{x}\dfrac {{y}^{2}}{{x}^{2}}dy$，得到$\dfrac {1}{3}x-\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {1}{{x}^{5}}$。
步骤 5：计算外层积分
计算外层积分${\int }_{1}^{2}(\dfrac {1}{3}x-\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {1}{{x}^{5}})dx$，得到$-(\dfrac {1}{6}{x}^{2}+\dfrac {1}{12}{x}^{-4}){|}_{1}^{2}$。
步骤 6：计算最终结果
将步骤5中得到的结果代入，计算得到最终结果$\dfrac {27}{64}$。
根据题目描述，积分区域D是由直线x=2，y=x和双曲线xy=1所围成的区域。首先，画出这些曲线，确定它们的交点，从而确定积分区域D的边界。
步骤 2：确定积分区域的边界
通过解方程组，可以确定积分区域D的边界。对于直线x=2，y=x和双曲线xy=1，它们的交点分别为(1,1)和(2,1/2)。因此，积分区域D可以表示为：$1\leqslant x\leqslant 2$，$\dfrac {1}{x}\leqslant y\leqslant x$。
步骤 3：计算二重积分
根据步骤2中确定的积分区域，将二重积分化为累次积分。先沿y方向积分，再沿x方向积分。计算过程如下：
$\iint \dfrac {{y}^{2}}{{x}^{2}}dxdy={\int }_{1}^{2}dx{\int }_{\dfrac {1}{x}}^{x}\dfrac {{y}^{2}}{{x}^{2}}dy$。
步骤 4：计算内层积分
计算内层积分${\int }_{\dfrac {1}{x}}^{x}\dfrac {{y}^{2}}{{x}^{2}}dy$，得到$\dfrac {1}{3}x-\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {1}{{x}^{5}}$。
步骤 5：计算外层积分
计算外层积分${\int }_{1}^{2}(\dfrac {1}{3}x-\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {1}{{x}^{5}})dx$，得到$-(\dfrac {1}{6}{x}^{2}+\dfrac {1}{12}{x}^{-4}){|}_{1}^{2}$。
步骤 6：计算最终结果
将步骤5中得到的结果代入，计算得到最终结果$\dfrac {27}{64}$。