设区域 = (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 4,xgeqslant 0,ygeqslant 0} ,f(x)是正值连续函数,a,b为常数,则-|||-.iint dfrac (asqrt {f(x))+bsqrt (f(y))}(sqrt {f(x))+sqrt (f(y))}dx=-|||-(A)abπ. (B) dfrac (ab)(2)pi . (C) (a+b)pi . (D) dfrac (a+b)(2)pi

考查要点：本题主要考查二重积分的对称性应用，特别是轮换对称性在积分计算中的简化作用。关键在于识别积分区域的对称性，并利用被积函数的结构特点进行变量交换，从而将复杂积分转化为简单形式。

解题核心思路：

1. 观察积分区域：区域$D$是第一象限内的四分之一圆，关于$x$和$y$对称，因此可以利用轮换对称性。
2. 拆分被积函数：将分子拆分为两部分，分别对应$a\sqrt{f(x)}$和$b\sqrt{f(y)}$，再结合分母的对称性，发现两部分积分结果相同。
3. 简化计算：通过变量交换或代入特殊函数（如$f(x)=1$），直接计算积分值。

破题关键点：

• 轮换对称性的应用，将两个对称积分项合并简化。
• 特殊值代入法（如$f(x)=1$）快速验证结果。

步骤1：拆分被积函数
将积分拆分为两部分：
$\iint_D \frac{a\sqrt{f(x)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}} \,dx\,dy + \iint_D \frac{b\sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}} \,dx\,dy.$

步骤2：利用对称性简化
对第二个积分交换$x$和$y$，积分区域$D$不变，得：
$\iint_D \frac{b\sqrt{f(x)}}{\sqrt{f(y)}+\sqrt{f(x)}} \,dx\,dy.$
因此，两个积分的被积函数相同，记为$I$，则原积分可表示为：
$aI + bI = (a + b)I.$

步骤3：计算对称积分$I$
由于被积函数在交换$x$和$y$后不变，且分母为$\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}$，可得：
$I = \iint_D \frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}} \,dx\,dy = \frac{1}{2} \iint_D 1 \,dx\,dy = \frac{1}{2} \cdot \text{区域$D$的面积}.$
区域$D$是半径为2的四分之一圆，面积为$\frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi$，故：
$I = \frac{\pi}{2}.$

步骤4：代入结果
原积分结果为：
$(a + b) \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{a + b}{2} \pi.$