题目
已知连续型随机变量密度函数为 (x)=dfrac (1)(2sqrt {2pi )}(e)^-dfrac ({(x-3)^2)(8)} in R, .-|||-则 E(2X-1)= __ ;D(2X-1)= __ ;;(Xgt 3)= __ _; P(X=1)= __3)=underline( );P(X=1)=underline( )" data-width="681" data-height="91" data-size="14788" data-format="png" style="">
3)=\underline{\quad\quad};P(X=1)=\underline{\quad\quad}\end{aligned}" data-width="681" data-height="91" data-size="14788" data-format="png" style="">
题目解答
答案
3) \\ &由于X服从均值为3和标准差为2的正态分布,我 \\ &们标准化X来找到P(X>3): \\ &P(X>3)=P\left({\frac{X-\mu}{\sigma}}>{\frac{3-3}{2}}\right)=P(Z>0) \\ &其中Z是标准正态随机变量。从标准正态分布表 \\ &\text{中,我们知道:} \\ &P(Z>0)=0.5 \\ &\textbf{计算 }P(X=1) \\ &对于连续型随机变量,取任何特定值的概率是0: \\ &P(X=1)=0 \\ &\text{综合上述步骤,我们得到:} \\ &E(2X-1)={5},\quad D(2X-1)= \\ &{16},\quad P(X>3)={0.5},\quad P(X=1)={0} \end{aligned}" data-width="414" data-height="416" data-size="48830" data-format="png" style="">
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布参数
给定的密度函数 $f(x)=\dfrac {1}{2\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-3)}^{2}}{8}}$ 是正态分布的密度函数形式，其中均值 $\mu=3$，方差 $\sigma^2=4$（因为 $\sigma^2=8/2=4$）。
步骤 2：计算E(2X-1)
根据正态分布的性质，$E(X)=\mu=3$。因此，$E(2X-1)=2E(X)-1=2*3-1=5$。
步骤 3：计算D(2X-1)
根据方差的性质，$D(2X-1)=4D(X)=4\sigma^2=4*4=16$。
步骤 4：计算$P(X>3)$
由于X服从均值为3和标准差为2的正态分布，我们标准化X来找到$P(X>3)$：$P(X>3)=P(\dfrac {X-\mu }{\sigma }>\dfrac {3-3}{2})=P(Z>0)$，其中Z是标准正态随机变量。从标准正态分布表中，我们知道：$P(Z>0)=0.5$。
步骤 5：计算P(X=1)
对于连续型随机变量，取任何特定值的概率是0：$P(X=1)=0$。
给定的密度函数 $f(x)=\dfrac {1}{2\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-3)}^{2}}{8}}$ 是正态分布的密度函数形式，其中均值 $\mu=3$，方差 $\sigma^2=4$（因为 $\sigma^2=8/2=4$）。
步骤 2：计算E(2X-1)
根据正态分布的性质，$E(X)=\mu=3$。因此，$E(2X-1)=2E(X)-1=2*3-1=5$。
步骤 3：计算D(2X-1)
根据方差的性质，$D(2X-1)=4D(X)=4\sigma^2=4*4=16$。
步骤 4：计算$P(X>3)$
由于X服从均值为3和标准差为2的正态分布，我们标准化X来找到$P(X>3)$：$P(X>3)=P(\dfrac {X-\mu }{\sigma }>\dfrac {3-3}{2})=P(Z>0)$，其中Z是标准正态随机变量。从标准正态分布表中，我们知道：$P(Z>0)=0.5$。
步骤 5：计算P(X=1)
对于连续型随机变量，取任何特定值的概率是0：$P(X=1)=0$。