题目

一、单选题（共20题，100.0分）6.（单选题，5.0分）int_(0)^pi xsin xdx=A 1B pi C 2pi D 2

一、单选题（共20题，100.0分） 6.（单选题，5.0分） $\int_{0}^{\pi } x\sin xdx=$ A 1 B $\pi $ C $2\pi $ D 2

题目解答

答案

为了求解定积分 $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx$，我们可以使用分部积分法。分部积分法的公式是： \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 在这个问题中，我们可以选择 $u = x$ 和 $dv = \sin x \, dx$。那么，$du = dx$ 和 $v = -\cos x$。将这些代入分部积分法的公式中，我们得到： \[ \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \left[ x (-\cos x) \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos x) \, dx \] 简化右边的表达式，我们有： \[ \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos x \, dx \] 接下来，我们计算 $\left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi}$： \[ \left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi} = -\pi \cos \pi - (-0 \cos 0) = -\pi (-1) - 0 = \pi \] 然后，我们计算 $\int_{0}^{\pi} \cos x \, dx$： \[ \int_{0}^{\pi} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi} = \sin \pi - \sin 0 = 0 - 0 = 0 \] 将这两个结果相加，我们得到： \[ \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi + 0 = \pi \] 因此，正确答案是 $\boxed{B}$。

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是分部积分法的应用。
解题思路：被积函数为$x \cdot \sin x$，属于两个函数乘积的形式，优先考虑分部积分法。
关键点：

  1. 合理选择分部积分中的$u$和$dv$，通常选择$u = x$（易求导），$dv = \sin x \, dx$（易积分）。
  2. 正确处理积分上下限，避免代数符号错误。
  3. 简化分部积分后的表达式，注意符号变化。

分部积分法应用

  1. 设定变量：
    设$u = x$，则$du = dx$；
    设$dv = \sin x \, dx$，则$v = -\cos x$。

  2. 代入分部积分公式：
    $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos x \, dx$

  3. 计算边界项：
    $\left[ -x \cos x \right]_{0}^{\pi} = -\pi \cos \pi + 0 \cdot \cos 0 = -\pi (-1) = \pi$

  4. 计算剩余积分：
    $\int_{0}^{\pi} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi} = \sin \pi - \sin 0 = 0$

  5. 合并结果：
    $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi + 0 = \pi$