一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.下列命题正确的是____.(A)若函数f(x,y)在点(0,0)处可微，则二重极限lim_(x to 0 yto 0) (f(x,y))/(|x|+|y|)必存在；(B)若对于函数z=f(x,y)有.(partial f)/(partial x)|_((x_{0),y_(0))}=0，.(partial f)/(partial y)|_((x_{0),y_(0))}=0，则f(x,y)在点(x₀,y₀)处必连续；(C)设z=z(x,y)是由方程xyz+x²+y²+z²=4在点(1,1)的某邻域内确定的隐函数，则其在点(1,1)处的微分dz|_(1,1)=dx+dy；(D)函数f(x,y)=sqrt(x^2)+y^(2)在点(0,0)处沿任意方向的方向导数均存在.
题目解答
答案
为了确定正确的命题，让我们逐步分析每个选项。
选项(A): 若函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，则二重极限 $\lim_{x \to 0, y \to 0} \frac{f(x,y)}{|x|+|y|}$ 必存在。
如果 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，那么 $f(x,y)$ 可以表示为：
$f(x,y) = f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + o(\sqrt{x^2 + y^2})$
其中 $o(\sqrt{x^2 + y^2})$ 是一个比 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 更快趋于零的项。因此，
$\frac{f(x,y)}{|x| + |y|} = \frac{f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + o(\sqrt{x^2 + y^2})}{|x| + |y|}$
如果 $f(0,0) = 0$，那么当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，项 $\frac{f_x(0,0)x + f_y(0,0)y}{|x| + |y|}$ 趋于一个有限值，而项 $\frac{o(\sqrt{x^2 + y^2})}{|x| + |y|}$ 趋于0。然而，如果 $f(0,0) \neq 0$，那么 $\frac{f(0,0)}{|x| + |y|}$ 当 $(x,y) \to (0,0)$ 时趋于无穷大，因此极限不存在。因此，这个命题不一定正确。
选项(B): 若对于函数 $z = f(x,y)$ 有 $\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(x_0, y_0)} = 0$ 和 $\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(x_0, y_0)} = 0$，则 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处必连续。
偏导数在一点存在且为零并不一定意味着函数在该点连续。例如，考虑函数 $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ 如果 $(x,y) \neq (0,0)$ 和 $f(0,0) = 0$。偏导数 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$ 都为零，但 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续。因此，这个命题是错误的。
选项(C): 设 $z = z(x,y)$ 是由方程 $xyz + x^2 + y^2 + z^2 = 4$ 在点 $(1,1)$ 的某邻域内确定的隐函数，则其在点 $(1,1)$ 处的微分 $dz|_{(1,1)} = dx + dy$。
首先，我们需要找到 $z(1,1)$。将 $x = 1$ 和 $y = 1$ 代入方程，我们得到：
$1 \cdot 1 \cdot z + 1^2 + 1^2 + z^2 = 4 \implies z + 2 + z^2 = 4 \implies z^2 + z - 2 = 0 \implies (z+2)(z-1) = 0$
因此，$z = 1$ 或 $z = -2$。假设 $z = 1$（对于 $z = -2$ 的分析类似）。现在，我们对方程 $xyz + x^2 + y^2 + z^2 = 4$ 隐式求导：
$yz + xyz_x + 2x + 2zz_x = 0$
$xz + xyz_y + 2y + 2zz_y = 0$
在 $(1,1,1)$ 处求值：
$1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot z_x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot z_x = 0 \implies 1 + z_x + 2 + 2z_x = 0 \implies 3 + 3z_x = 0 \implies z_x = -1$
$1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot z_y + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot z_y = 0 \implies 1 + z_y + 2 + 2z_y = 0 \implies 3 + 3z_y = 0 \implies z_y = -1$
因此，微分是：
$dz|_{(1,1)} = z_x dx + z_y dy = -dx - dy$
因此，这个命题是错误的。
选项(D): 函数 $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ 在点 $(0,0)$ 处沿任意方向的方向导数均存在。
函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处沿方向 $\mathbf{u} = \cos \theta \mathbf{i} + \sin \theta \mathbf{j}$ 的方向导数由下式给出：
$D_{\mathbf{u}} f(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h \cos \theta, h \sin \theta) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{(h \cos \theta)^2 + (h \sin \theta)^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$
如果 $h$ 从正方向接近0，极限是1，如果 $h$ 从负方向接近0，极限是-1。然而，由于方向导数定义为 $h$ 从正方向接近0的极限，方向导数是 $\cos \theta$ 的绝对值，即 $1$。因此，方向导数存在且为 $\cos \theta$ 的绝对值，即 $1$。因此，这个命题是正确的。
正确答案是 $\boxed{D}$。
解析
本题主要考查多元函数的可微性、连续性、偏导数、隐函数微分以及方向导数等知识点。解题思路是对每个选项所涉及的知识点进行分析和推理，通过具体的计算或反例来判断命题的正确性。
选项A
若函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，则$f(x,y)$可表示为$f(x,y) = f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + o(\sqrt{x^2 + y^2})$。
那么$\frac{f(x,y)}{|x| + |y|} = \frac{f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + o(\sqrt{x^2 + y^2})}{|x| + |y|}$。
当$f(0,0) = 0$时，$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{f_x(0,0)x + f_y(0,0)y}{|x| + |y|}$趋于有限值，$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{o(\sqrt{x^2 + y^2})}{|x| + |y|}=0$；
当$f(0,0) \neq 0$时，$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{f(0,0)}{|x| + |y|}=+\infty$，极限不存在。所以该命题不一定正确。
选项B
偏导数在一点存在且为零并不一定意味着函数在该点连续。
例如函数$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$，
根据偏导数定义求$f_x(0,0)$：
$f_x(0,0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{0 - 0}{\Delta x}=0$，
同理$f_y(0,0)=0$。
但$\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)$，令$y=kx$，则$\lim_{x \to 0}\frac{kx^2}{x^2 + k^2x^2}=\frac{k}{1 + k^2}$，极限值与$k$有关，所以$\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)$不存在，函数在$(0,0)$处不连续。该命题错误。
选项C
首先求$z(1,1)$，将$x = 1$，$y = 1$代入方程$xyz + x^2 + y^2 + z^2 = 4$，
得$1\cdot1\cdot z + 1^2 + 1^2 + z^2 = 4$，即$z^2 + z - 2 = 0$，因式分解得$(z + 2)(z - 1) = 0$，解得$z = 1$或$z = -2$，这里取$z = 1$。
对方程$xyz + x^2 + y^2 + z^2 = 4$两边分别对$x$求偏导：
$yz + xyz_x + 2x + 2zz_x = 0$，
将$(1,1,1)$代入得$1\cdot1 + 1\cdot1\cdot z_x + 2\cdot1 + 2\cdot1\cdot z_x = 0$，
即$1 + z_x + 2 + 2z_x = 0$，$3 + 3z_x = 0$，解得$z_x = -1$。
同理，对方程两边对$y$求偏导：
$xz + xyz_y + 2y + 2zz_y = 0$，
将$(1,1,1)$代入得$1\cdot1 + 1\cdot1\cdot z_y + 2\cdot1 + 2\cdot1\cdot z_y = 0$，
即$1 + z_y + 2 + 2z_y = 0$，$3 + 3z_y = 0$，解得$z_y = -1$。
所以$dz|_{(1,1)} = z_x dx + z_y dy = -dx - dy$，该命题错误。
选项D
函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处沿方向$\mathbf{u} = \cos \theta \mathbf{i} + \sin \theta \mathbf{j}$的方向导数为：
$D_{\mathbf{u}} f(0,0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h \cos \theta, h \sin \theta) - f(0,0)}{h}$
$=\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{(h \cos \theta)^2 + (h \sin \theta)^2} - 0}{h}=\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}}{h}$
因为$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$，所以$D_{\mathbf{u}} f(0,0)=\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h}=\lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h}=1$，方向导数存在。该命题正确。