题目
9.设Σ是球面x^2+y^2+z^2=1的上半部分，Sigma_(1)是Σ在第一卦限中的部分. 则（） (A.）iintlimits_(Sigma)xdS=4iintlimits_(Sigma_{1)}xdS. (B.) iintlimits_(Sigma)ydS=4iintlimits_(Sigma_{1)}ydS. (C.) iintlimits_(Sigma)zdS=4iintlimits_(Sigma_{1)}zdS. (D.) iintlimits_(Sigma)xyzdS=4iintlimits_(Sigma_{1)}xyzdS.
9.设Σ是球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$的上半部分，$\Sigma_{1}$是Σ在第一卦限中的部分. 则（） (
A.）$\iint\limits_{\Sigma}xdS=4\iint\limits_{\Sigma_{1}}xdS$. (
B.) $\iint\limits_{\Sigma}ydS=4\iint\limits_{\Sigma_{1}}ydS.$ (
C.) $\iint\limits_{\Sigma}zdS=4\iint\limits_{\Sigma_{1}}zdS.$ (
D.) $\iint\limits_{\Sigma}xyzdS=4\iint\limits_{\Sigma_{1}}xyzdS.$
A.）$\iint\limits_{\Sigma}xdS=4\iint\limits_{\Sigma_{1}}xdS$. (
B.) $\iint\limits_{\Sigma}ydS=4\iint\limits_{\Sigma_{1}}ydS.$ (
C.) $\iint\limits_{\Sigma}zdS=4\iint\limits_{\Sigma_{1}}zdS.$ (
D.) $\iint\limits_{\Sigma}xyzdS=4\iint\limits_{\Sigma_{1}}xyzdS.$
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要分析给定的曲面积分以及球面及其部分的对称性。
球面 $ \Sigma $ 由方程 $ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $ 的上半部分定义，即 $ z \geq 0 $。部分 $ \Sigma_1 $ 是 $ \Sigma $ 在第一卦限中的部分，其中 $ x \geq 0 $，$ y \geq 0 $，和 $ z \geq 0 $。
让我们逐一评估每个选项：
**选项 (A):** $ \iint\limits_{\Sigma} x \, dS = 4 \iint\limits_{\Sigma_1} x \, dS $
球面 $ \Sigma $ 关于 $ yz $-平面（即 $ x = 0 $）对称。因此，$ \Sigma $ 上 $ x $ 的积分是第一和第四卦限中 $ x $ 的积分的两倍，其中 $ x \geq 0 $。由于 $ \Sigma_1 $ 是第一卦限中的部分，$ \Sigma $ 上 $ x $ 的积分是 $ \Sigma_1 $ 上 $ x $ 的积分的4倍。因此，这个选项是正确的。
**选项 (B):** $ \iint\limits_{\Sigma} y \, dS = 4 \iint\limits_{\Sigma_1} y \, dS $
球面 $ \Sigma $ 关于 $ xz $-平面（即 $ y = 0 $）对称。因此，$ \Sigma $ 上 $ y $ 的积分是第一和第四卦限中 $ y $ 的积分的两倍，其中 $ y \geq 0 $。由于 $ \Sigma_1 $ 是第一卦限中的部分，$ \Sigma $ 上 $ y $ 的积分是 $ \Sigma_1 $ 上 $ y $ 的积分的4倍。因此，这个选项是正确的。
**选项 (C):** $ \iint\limits_{\Sigma} z \, dS = 4 \iint\limits_{\Sigma_1} z \, dS $
球面 $ \Sigma $ 关于 $ xy $-平面（即 $ z = 0 $）对称。因此，$ \Sigma $ 上 $ z $ 的积分是第一和第二卦限中 $ z $ 的积分的两倍，其中 $ z \geq 0 $。由于 $ \Sigma_1 $ 是第一卦限中的部分，$ \Sigma $ 上 $ z $ 的积分是 $ \Sigma_1 $ 上 $ z $ 的积分的4倍。因此，这个选项是正确的。
**选项 (D):** $ \iint\limits_{\Sigma} xyz \, dS = 4 \iint\limits_{\Sigma_1} xyz \, dS $
球面 $ \Sigma $ 关于 $ yz $-平面，$ xz $-平面和 $ xy $-平面都对称。因此，$ \Sigma $ 上 $ xyz $ 的积分是第一卦限中 $ xyz $ 的积分的8倍，其中 $ x \geq 0 $，$ y \geq 0 $，和 $ z \geq 0 $。由于 $ \Sigma_1 $ 是第一卦限中的部分，$ \Sigma $ 上 $ xyz $ 的积分是 $ \Sigma_1 $ 上 $ xyz $ 的积分的8倍，而不是4倍。因此，这个选项是错误的。
正确答案是 $\boxed{C}$。
\[
\boxed{C}
\]
解析
本题考查利用曲面积分的对称性来判断积分等式是否成立。解题的关键在于分析被积函数的奇偶性以及积分曲面的对称性。
选项A
- 对于积分$\iint\limits_{\Sigma} x \, dS$，积分曲面$\Sigma$是球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$的上半部分，它关于$yz$ - 平面（$x = 0$）对称。
- 被积函数$f(x,y,z)=x$是关于$x$的奇函数，即$f(-x,y,z)=-f(x,y,z)$。
- 根据曲面积分的对称性，当积分曲面关于某坐标平面对称，被积函数是关于该坐标平面所对应的变量的奇函数时，积分值为$0$。所以$\iint\limits_{\Sigma} x \, dS = 0$。
- 而在$\Sigma_{1}$（第一卦限部分）上，$x\geq0$，$\iint\limits_{\Sigma_{1}} x \, dS>0$，所以$\iint\limits_{\Sigma} x \, dS\neq4\iint\limits_{\Sigma_{1}} x \, dS$，选项A错误。
选项B
- 对于积分$\iint\limits_{\Sigma} y \, dS$，积分曲面$\Sigma$关于$xz$ - 平面（$y = 0$）对称。
- 被积函数$f(x,y,z)=y$是关于$y$的奇函数，即$f(x,-y,z)=-f(x,y,z)$。
- 同理，根据曲面积分的对称性可得$\iint\limits_{\Sigma} y \, dS = 0$。
- 在$\Sigma_{1}$上，$y\geq0$，$\iint\limits_{\Sigma_{1}} y \, dS>0$，所以$\iint\limits_{\Sigma} y \, dS\neq4\iint\limits_{\Sigma_{1}} y \, dS$，选项B错误。
选项C
- 对于积分$\iint\limits_{\Sigma} z \, dS$，积分曲面$\Sigma$关于$xy$ - 平面（$z = 0$）对称。
- 被积函数$f(x,y,z)=z$是关于$z$的偶函数，即$f(x,y,-z)=f(x,y,z)$。
- 根据曲面积分的对称性，当积分曲面关于某坐标平面对称，被积函数是关于该坐标平面所对应的变量的偶函数时，$\iint\limits_{\Sigma} z \, dS = 2\iint\limits_{\Sigma_{上半部分（\(x\geq0$）}} z \, dS)。
- 又因为$\Sigma_{上半部分（\(x\geq0$）})关于$xz$ - 平面（$y = 0$）对称，$z$关于$y$也是偶函数，所以$2\iint\limits_{\Sigma_{上半部分（\(x\geq0$）}} z \, dS=4\iint\limits{\Sigma{1}} z \, dS)，即$\iint\limits_{\Sigma} z \, dS = 4\iint\limits_{\Sigma_{1}} z \, dS$，选项C正确。
选项D
- 对于积分$\iint\limits_{\Sigma} xyz \, dS$，积分曲面$\Sigma$关于$yz$ - 平面（$x = 0$）、$xz$ - 平面（$y = 0$）和$xy$ - 平面（$z = 0$）都对称。
- 被积函数$f(x,y,z)=xyz$是关于$x$、$y$、$z$的奇函数，即$f(-x,y,z)=-f(x,y,z)$，$f(x,-y,z)=-f(x,y,z)$，$f(x,y,-z)=-f(x,y,z)$。
- 根据曲面积分的对称性可得$\iint\limits_{\Sigma} xyz \, dS = 0$。
- 在$\Sigma_{1}$上，$x\geq0$，$y\geq0$，$z\geq0$，$\iint\limits_{\Sigma_{1}} xyz \, dS>0$，所以$\iint\limits_{\Sigma} xyz \, dS\neq4\iint\limits_{\Sigma_{1}} xyz \, dS$，选项D错误。