设f(x)在[0,1]上可导,0<f(x)<1,且f(x)≠1求证:f(x)=x有且仅有一个根

步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 $F(x) = f(x) - x$，其中 $x \in [0, 1]$。这个函数的定义是为了将原问题转化为证明 $F(x) = 0$ 有且仅有一个根的问题。

步骤 2：证明存在性
- 计算 $F(0)$ 和 $F(1)$ 的值。
- $F(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0$，因为 $0 < f(x) < 1$。
- $F(1) = f(1) - 1 < 0$，因为 $0 < f(x) < 1$。
- 根据介值定理，由于 $F(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，且 $F(0) > 0$，$F(1) < 0$，因此至少存在一个 $\xi \in (0, 1)$，使得 $F(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = \xi$。

步骤 3：证明唯一性
- 计算 $F(x)$ 的导数 $F'(x) = f'(x) - 1$。
- 由于 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且 $0 < f(x) < 1$，因此 $f'(x) \neq 1$。
- 根据罗尔定理的推论，如果 $F'(x) \neq 0$，则 $F(x) = 0$ 至多有一个根。
- 因此，$F(x) = 0$ 有且仅有一个根。