题目
计算下列定积分：(int )_(0)^1ln (x+1)dx.
计算下列定积分：
.
题目解答
答案
将
看作
，
，由分部积分法：
.
解析
步骤 1：分部积分法
我们使用分部积分法来计算定积分${\int }_{0}^{1}\ln (x+1)dx$。分部积分法的公式为${\int }_{a}^{b}u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-{\int }_{a}^{b}u'(x)v(x)dx$。这里，我们选择$u(x)=\ln (x+1)$，$v'(x)=1$，则$u'(x)=\dfrac {1}{x+1}$，$v(x)=x$。
步骤 2：应用分部积分法
将$u(x)$，$u'(x)$，$v(x)$，$v'(x)$代入分部积分法的公式中，得到${\int }_{0}^{1}\ln (x+1)dx=[x\ln (x+1)]_{0}^{1}-{\int }_{0}^{1}\dfrac {x}{x+1}dx$。
步骤 3：计算定积分
计算$[x\ln (x+1)]_{0}^{1}$，得到$1\ln (1+1)-0\ln (0+1)=\ln 2$。计算${\int }_{0}^{1}\dfrac {x}{x+1}dx$，得到${\int }_{0}^{1}\dfrac {x+1-1}{x+1}dx={\int }_{0}^{1}(1-\dfrac {1}{x+1})dx=[x-\ln (x+1)]_{0}^{1}=(1-\ln 2)-(0-\ln 1)=1-\ln 2$。将这两个结果代入步骤2的公式中，得到${\int }_{0}^{1}\ln (x+1)dx=\ln 2-(1-\ln 2)=2\ln 2-1$。
我们使用分部积分法来计算定积分${\int }_{0}^{1}\ln (x+1)dx$。分部积分法的公式为${\int }_{a}^{b}u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-{\int }_{a}^{b}u'(x)v(x)dx$。这里，我们选择$u(x)=\ln (x+1)$，$v'(x)=1$，则$u'(x)=\dfrac {1}{x+1}$，$v(x)=x$。
步骤 2：应用分部积分法
将$u(x)$，$u'(x)$，$v(x)$，$v'(x)$代入分部积分法的公式中，得到${\int }_{0}^{1}\ln (x+1)dx=[x\ln (x+1)]_{0}^{1}-{\int }_{0}^{1}\dfrac {x}{x+1}dx$。
步骤 3：计算定积分
计算$[x\ln (x+1)]_{0}^{1}$，得到$1\ln (1+1)-0\ln (0+1)=\ln 2$。计算${\int }_{0}^{1}\dfrac {x}{x+1}dx$，得到${\int }_{0}^{1}\dfrac {x+1-1}{x+1}dx={\int }_{0}^{1}(1-\dfrac {1}{x+1})dx=[x-\ln (x+1)]_{0}^{1}=(1-\ln 2)-(0-\ln 1)=1-\ln 2$。将这两个结果代入步骤2的公式中，得到${\int }_{0}^{1}\ln (x+1)dx=\ln 2-(1-\ln 2)=2\ln 2-1$。