(1) int dfrac (3sqrt {x)}(x(sqrt {x)+sqrt [3](x))}dx

考查要点：本题主要考查有理函数的积分，需要通过变量替换将复杂的根式表达式转化为有理分式，进而简化积分过程。

解题核心思路：

1. 识别根式的共同指数：分母中的$\sqrt{x}$和$\sqrt[3]{x}$的指数分别为$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{3}$，其最小公倍数为$6$，因此设$t = x^{1/6}$，将根式转化为整数次幂。
2. 变量替换：通过$t = x^{1/6}$，将原积分中的$x$、$\sqrt{x}$、$\sqrt[3]{x}$和$dx$全部用$t$表示，简化积分表达式。
3. 分式化简与积分：替换后分式化简为$\frac{1}{t+1}$的形式，直接积分即可。

变量替换：
设$t = x^{1/6}$，则$x = t^6$，$\sqrt{x} = t^3$，$\sqrt[3]{x} = t^2$，且$dx = 6t^5 dt$。

代入原积分：
$\begin{aligned}\int \frac{3\sqrt{x}}{x(\sqrt{x} + \sqrt[3]{x})} dx &= \int \frac{3t^3}{t^6(t^3 + t^2)} \cdot 6t^5 dt \\&= \int \frac{18t^8}{t^8(t + 1)} dt \\&= \int \frac{18}{t + 1} dt.\end{aligned}$

积分与回代：
$\int \frac{18}{t + 1} dt = 18\ln|t + 1| + C = 18\ln\left(x^{1/6} + 1\right) + C.$