题目
设A=(matrix(1 & -2&3k cr -1 & 2k & -3cr k & -2 & 3))，问k为何值，可使：(1)R(A)=1；(2)R(A)=2；(3)R(A)=3。
设$A=\left(\matrix{1 & -2&3k \cr -1 & 2k & -3\cr k & -2 & 3}\right)$，问k为何值，可使：
(1)$R(A)=1$；
(2)$R(A)=2$；
(3)$R(A)=3$。
题目解答
答案
对A作初等行变换：$A=\left(\matrix{1 & -2&3k \cr -1 & 2k & -3\cr k & -2 & 3}\right)$~$~\left(\matrix{1 & -2 & 3k\cr 0 & 2(k-1) & 3(k-1)\cr 0 & 2(k-1) & -3(k^2-1)}\right)$~$`~\left(\matrix{1 & -2 & 3k\cr 0 & 2(k-1) & 3(k-1)\cr 0 & 0 & -3(k-1)(k+2)}\right)$。
所以：当$k=1$时，$R(A)=1$；当$k=2$时，$R(A)=2$；当$k\not= 1且k\not= -2$时，$R(A)=3$。
解析
步骤 1：对矩阵A进行初等行变换
对矩阵$A=\left(\matrix{1 & -2&3k \cr -1 & 2k & -3\cr k & -2 & 3}\right)$进行初等行变换，目的是将矩阵化简为阶梯形矩阵，以便于观察矩阵的秩。
步骤 2：化简矩阵
通过初等行变换，我们得到矩阵$A$的阶梯形矩阵为$\left(\matrix{1 & -2 & 3k\cr 0 & 2(k-1) & 3(k-1)\cr 0 & 0 & -3(k-1)(k+2)}\right)$。
步骤 3：根据阶梯形矩阵确定矩阵的秩
根据阶梯形矩阵，我们可以确定矩阵$A$的秩$R(A)$。当$k=1$时，矩阵$A$的秩为1；当$k=-2$时，矩阵$A$的秩为2；当$k\not= 1且k\not= -2$时，矩阵$A$的秩为3。
对矩阵$A=\left(\matrix{1 & -2&3k \cr -1 & 2k & -3\cr k & -2 & 3}\right)$进行初等行变换，目的是将矩阵化简为阶梯形矩阵，以便于观察矩阵的秩。
步骤 2：化简矩阵
通过初等行变换，我们得到矩阵$A$的阶梯形矩阵为$\left(\matrix{1 & -2 & 3k\cr 0 & 2(k-1) & 3(k-1)\cr 0 & 0 & -3(k-1)(k+2)}\right)$。
步骤 3：根据阶梯形矩阵确定矩阵的秩
根据阶梯形矩阵，我们可以确定矩阵$A$的秩$R(A)$。当$k=1$时，矩阵$A$的秩为1；当$k=-2$时，矩阵$A$的秩为2；当$k\not= 1且k\not= -2$时，矩阵$A$的秩为3。