题目
3.设随机变量X服从参数 lambda =2 的指数分希,证明: =1-(e)^-2x 服从[0,1)上的均匀-|||-分布.
题目解答
答案
夸克大学道答案见解木解析江田曰: F_{x}=\\cases{1-e^{-2 x}x>0\\cr0&x\\le{slant}0}y=1-e^{-2 x} 是单ì x=\\frac{1}{2}\\ln(1-y),\\circ{led}{1}G(y)=P(Y\\le{slant}y)=P(1-e^{-2 x}\\ley)=\\\\{\\matrix{0\\\\\\\\1}.G(y)=\\cases{0&y\\le0\\cry\\quad0<1\\cry>1} 度函数为 g(y)=\\cases{1\\quad0<1\\cr0\\quad 其他}得证有夸克就有解
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布函数
随机变量X服从参数 $\lambda =2$ 的指数分布，其分布函数为：
$$
F_X(x) = \begin{cases}
1 - e^{-2x} & \text{if } x > 0 \\
0 & \text{if } x \leq 0
\end{cases}
$$
步骤 2：确定随机变量Y的分布函数
随机变量Y定义为 $Y = 1 - e^{-2X}$，我们需要求出Y的分布函数 $F_Y(y)$。首先，求出X关于Y的反函数：
$$
y = 1 - e^{-2x} \Rightarrow e^{-2x} = 1 - y \Rightarrow x = \frac{1}{2} \ln(1 - y)
$$
步骤 3：计算Y的分布函数
根据Y的定义，我们有：
$$
F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(1 - e^{-2X} \leq y) = P(X \leq \frac{1}{2} \ln(1 - y))
$$
将X的分布函数代入，得到：
$$
F_Y(y) = \begin{cases}
0 & \text{if } y \leq 0 \\
1 - e^{-2 \cdot \frac{1}{2} \ln(1 - y)} & \text{if } 0 < y < 1 \\
1 & \text{if } y \geq 1
\end{cases}
$$
化简得到：
$$
F_Y(y) = \begin{cases}
0 & \text{if } y \leq 0 \\
y & \text{if } 0 < y < 1 \\
1 & \text{if } y \geq 1
\end{cases}
$$
步骤 4：确定Y的概率密度函数
Y的分布函数为 $F_Y(y)$，其概率密度函数 $f_Y(y)$ 为 $F_Y(y)$ 的导数：
$$
f_Y(y) = \begin{cases}
1 & \text{if } 0 < y < 1 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
随机变量X服从参数 $\lambda =2$ 的指数分布，其分布函数为：
$$
F_X(x) = \begin{cases}
1 - e^{-2x} & \text{if } x > 0 \\
0 & \text{if } x \leq 0
\end{cases}
$$
步骤 2：确定随机变量Y的分布函数
随机变量Y定义为 $Y = 1 - e^{-2X}$，我们需要求出Y的分布函数 $F_Y(y)$。首先，求出X关于Y的反函数：
$$
y = 1 - e^{-2x} \Rightarrow e^{-2x} = 1 - y \Rightarrow x = \frac{1}{2} \ln(1 - y)
$$
步骤 3：计算Y的分布函数
根据Y的定义，我们有：
$$
F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(1 - e^{-2X} \leq y) = P(X \leq \frac{1}{2} \ln(1 - y))
$$
将X的分布函数代入，得到：
$$
F_Y(y) = \begin{cases}
0 & \text{if } y \leq 0 \\
1 - e^{-2 \cdot \frac{1}{2} \ln(1 - y)} & \text{if } 0 < y < 1 \\
1 & \text{if } y \geq 1
\end{cases}
$$
化简得到：
$$
F_Y(y) = \begin{cases}
0 & \text{if } y \leq 0 \\
y & \text{if } 0 < y < 1 \\
1 & \text{if } y \geq 1
\end{cases}
$$
步骤 4：确定Y的概率密度函数
Y的分布函数为 $F_Y(y)$，其概率密度函数 $f_Y(y)$ 为 $F_Y(y)$ 的导数：
$$
f_Y(y) = \begin{cases}
1 & \text{if } 0 < y < 1 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$