4/6 单选题下列函数在x∈[1,e]上与函数f(x)=e^x满足柯西中值定理的是（）A. F(x)=lnln xB. F(x)=(1)/(ln x).C. F(x)=ln(x+1)-(1)/(3)xD. F(x)=ln(x+1)

本题考查柯西中值定理的应用。解题思路是根据柯西中值定理的条件，逐一分析每个选项中的函数$F(x)$是否满足在区间$[1,e]$上连续，在$(1,e)$内可导，且$F^\prime(x)\neq0$。

柯西中值定理

若函数$f(x)$和$F(x)$满足：

1. 在闭区间$[a,b]$上连续；
2. 在开区间$(a,b)$内可导；
3. 对任意$x\in(a,b)$，$F^\prime(x)\neq0$。
   则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f^\prime(\xi)}{F^\prime(\xi)}$。

本题中$a = 1$，$b = e$，$f(x)=e^{x}$，$f(x)$在$[1,e]$上连续，在$(1,e)$内可导，$f^\prime(x)=e^{x}$。

选项A

$F(x)=\ln\ln x$，其定义域为$(1,+\infty)$。
对$F(x)$求导，根据复合函数求导法则$(\ln u)^\prime=\frac{1}{u}\cdot u^\prime$，令$u = \ln x$，则$F^\prime(x)=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln x}$。
当$x = 1$时，$\ln x = 0$，$F(x)$在$x = 1$处无定义，不满足在$[1,e]$上连续，所以该选项错误。

选项B

$F(x)=\frac{1}{\ln x}$，其定义域为$(0,1)\cup(1,+\infty)$。
对$F(x)$求导，根据除法求导法则$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，这里$u = 1$，$v = \ln x$，则$F^\prime(x)=\frac{0\times\ln x - 1\times\frac{1}{x}}{(\ln x)^2}=-\frac{1}{x(\ln x)^2}$。
当$x = 1$时，$\ln x = 0$，$F(x)$在$x = 1$处无定义，不满足在$[1,e]$上连续，所以该选项错误。

选项C

$F(x)=\ln(x + 1) - \frac{1}{3}x$，其定义域为$(-1,+\infty)$，在$[1,e]$上连续。
对$F(x)$求导，根据求导公式$(\ln u)^\prime=\frac{1}{u}\cdot u^\prime$，$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$F^\prime(x)=\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{3}=\frac{3 - (x + 1)}{3(x + 1)}=\frac{2 - x}{3(x + 1)}$。
令$F^\prime(x)=0$，即$\frac{2 - x}{3(x + 1)} = 0$，解得$x = 2$，$2\in(1,e)$，不满足对任意$x\in(1,e)$，$F^\prime(x)\neq0$，所以该选项错误。

选项D

$F(x)=\ln(x + 1)$，其定义域为$(-1,+\infty)$，在$[1,e]$上连续。
对$F(x)$求导，根据求导公式$(\ln u)^\prime=\frac{1}{u}\cdot u^\prime$，可得$F^\prime(x)=\frac{1}{x + 1}$。
因为$x\in(1,e)$，所以$x + 1\gt0$，则$F^\prime(x)=\frac{1}{x + 1}\neq0$，满足柯西中值定理的条件，所以该选项正确。