4.不等式(x-4)/(x-1)geqslant 2的解集是（ ）A. (x|-2≤x≤1)B. (x|x≤-2)C. (x|-2≤xD. (x|x>1)

考查要点：本题主要考查分式不等式的解法，涉及分式不等式的变形、符号分析及解集的确定。

解题核心思路：

1. 移项通分：将不等式右边的常数项移到左边，通分后转化为分式不等式$\frac{A}{B} \geq 0$的形式。
2. 等价变形：通过分子分母同乘$-1$，将不等式转化为$\frac{x+2}{x-1} \leq 0$，注意不等号方向改变。
3. 符号分析：确定分子、分母的零点，划分区间，分析分式在各区间的符号，结合不等式条件确定解集。

破题关键点：

• 分母不为零：注意$x \neq 1$。
• 临界点处理：分子为零时$x = -2$可取，分母为零时$x = 1$不可取。

步骤1：移项通分
原不等式$\frac{x-4}{x-1} \geq 2$，移项得：
$\frac{x-4}{x-1} - 2 \geq 0.$
通分后：
$\frac{x-4 - 2(x-1)}{x-1} \geq 0 \implies \frac{-x-2}{x-1} \geq 0.$

步骤2：等价变形
分子分母同乘$-1$，不等号方向改变：
$\frac{x+2}{x-1} \leq 0.$

步骤3：确定临界点
分子$x+2 = 0$时，$x = -2$；分母$x-1 = 0$时，$x = 1$。
数轴被分为三个区间：$x < -2$，$-2 \leq x < 1$，$x > 1$。

步骤4：符号分析

• 区间$x < -2$：取$x = -3$，分式$\frac{(-3)+2}{-3-1} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} > 0$，不满足$\leq 0$。
• 区间$-2 \leq x < 1$：取$x = 0$，分式$\frac{0+2}{0-1} = \frac{2}{-1} = -2 < 0$，满足条件。
• 区间$x > 1$：取$x = 2$，分式$\frac{2+2}{2-1} = \frac{4}{1} = 4 > 0$，不满足条件。

步骤5：临界点处理

• $x = -2$时，分式值为$0$，满足$\leq 0$。
• $x = 1$时，分母为$0$，分式无意义，排除。

最终解集：$-2 \leq x < 1$，对应选项C。