1.下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化趋势,-|||-写出它们的极限:-|||-(1) dfrac {1)({2)^n}} -|||-(2) {(-1))^ndfrac (1)(n)} ;-|||-(3) 2+dfrac {1)({n)^2}} ;-|||-(4) dfrac {n-1)(n+1)} ;-|||-(5) n{(-1))^n} ;-|||-(6) dfrac {{2)^n-1}({3)^n}} -|||-(7) n-dfrac {1)(n)} ;-|||-(8) [ {(-1))^n+1] dfrac (n+1)(n)}

考查要点：判断数列的收敛性及求极限，需掌握数列收敛的定义、常见数列的极限形式以及发散数列的判定方法。

解题思路：

1. 观察通项形式：分析数列通项随$n$趋向无穷时的趋势。
2. 判断收敛性：
   • 若通项趋近于确定常数，则收敛；
   • 若通项无界或震荡无常，则发散。
3. 求极限（仅收敛数列）：通过代数运算、等价无穷小替换等方法计算。

关键点：

• 指数函数（如$\frac{1}{2^n}$）和多项式函数（如$n$）的增长性差异；
• 符号交替项（如$(-1)^n$）可能导致数列震荡；
• 分式化简（如$\frac{n-1}{n}$）可简化极限计算。

(1) $\left\{ \dfrac{1}{2^n} \right\}$

• 通项分析：分母为指数函数$2^n$，随$n$增大迅速趋近于$0$。
• 结论：收敛，极限为$0$。

(2) $\left\{ (-1)^n - \dfrac{1}{n} \right\}$

• 奇偶项分析：
  • 偶数项：$(-1)^n = 1$，项为$1 - \dfrac{1}{n} \to 1$；
  • 奇数项：$(-1)^n = -1$，项为$-1 - \dfrac{1}{n} \to -1$。
• 结论：子数列极限不同，发散。

(3) $\left\{ 2 + \dfrac{1}{n^2} \right\}$

• 通项分析：$\dfrac{1}{n^2}$随$n$增大趋近于$0$。
• 结论：收敛，极限为$2$。

(4) $\left\{ \dfrac{n-1}{n} \right\}$

• 化简：$\dfrac{n-1}{n} = 1 - \dfrac{1}{n}$，当$n \to \infty$时，$\dfrac{1}{n} \to 0$。
• 结论：收敛，极限为$1$。

(5) $\left\{ n(-1)^n \right\}$

• 通项分析：绝对值$n \to \infty$，符号交替，整体无界。
• 结论：发散。

(6) $\left\{ 2^{n-1} \right\}$

• 通项分析：指数函数$2^{n-1}$随$n$增大趋向$+\infty$。
• 结论：发散。

(7) $\left\{ n - \dfrac{1}{n} \right\}$

• 通项分析：$n \to +\infty$，$\dfrac{1}{n} \to 0$，整体趋向$+\infty$。
• 结论：发散。

(8) $\left\{ \left[ (-1)^n + 1 \right] \dfrac{n+1}{n} \right\}$

• 奇偶项分析：
  • 偶数项：$(-1)^n = 1$，项为$2 \cdot \dfrac{n+1}{n} \to 2$；
  • 奇数项：$(-1)^n = -1$，项为$0 \cdot \dfrac{n+1}{n} = 0$。
• 结论：子数列极限不同，发散。