设 sim N(0,1) ,求 =2(X)^2+1 的概率密度.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查非单调函数的函数分布求解方法，需要掌握分布函数法的应用，以及标准正态分布的概率密度函数性质。
解题核心思路：
- 确定Y的取值范围：由于$Y=2X^2+1$，当$X=0$时$Y$取得最小值$1$，因此$Y>1$时有概率密度，$Y \leq 1$时概率密度为$0$。
- 通过分布函数法求解：先求$Y$的分布函数$F_Y(y)$，再对$y$求导得到概率密度$f_Y(y)$。
- 利用对称性简化积分：由于$X$服从标准正态分布，积分区间关于原点对称，可将积分转换为单边积分的两倍。
破题关键点：
- 正确处理非单调函数：通过不等式$Y \leq y$转化为关于$X$的范围，注意积分区间的对称性。
- 求导时的链式法则：对积分上下限关于$y$的导数进行准确计算。
步骤1：确定Y的取值范围
当$Y=2X^2+1$时，$X^2 \geq 0$，因此$Y \geq 1$。当$y \leq 1$时，$F_Y(y)=0$，概率密度$f_Y(y)=0$。
步骤2：求分布函数$F_Y(y)$（当$y > 1$时）
$\begin{aligned}F_Y(y) &= P(Y \leq y) = P(2X^2 + 1 \leq y) \\&= P\left(-\sqrt{\dfrac{y-1}{2}} \leq X \leq \sqrt{\dfrac{y-1}{2}}\right) \\&= \int_{-\sqrt{\dfrac{y-1}{2}}}^{\sqrt{\dfrac{y-1}{2}}} f_X(x) \, dx\end{aligned}$
其中$f_X(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$为标准正态分布的概率密度函数。
利用积分对称性：
$F_Y(y) = 2 \int_{0}^{\sqrt{\dfrac{y-1}{2}}} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \, dx$
步骤3：对$F_Y(y)$求导得$f_Y(y)$
对$y$求导时，应用莱布尼茨积分法则：
$\begin{aligned}f_Y(y) &= \dfrac{d}{dy} F_Y(y) \\&= 2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\left(\sqrt{\dfrac{y-1}{2}}\right)^2/2} \cdot \dfrac{d}{dy} \sqrt{\dfrac{y-1}{2}} \\&= \dfrac{2}{\sqrt{2\pi}} e^{-\dfrac{y-1}{4}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{2(y-1)}} \\&= \dfrac{1}{\sqrt{\pi (y-1)}} e^{-\dfrac{y-1}{4}}, \quad y > 1\end{aligned}$