题目
3)y' =(1)/(xy+y^3)
3)$y' =\frac{1}{xy+y^{3}}$
题目解答
答案
将方程改写为以 $ x $ 为因变量，$ y $ 为自变量的形式：
\[
\frac{dx}{dy} = xy + y^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{dx}{dy} - yx = y^3
\]
此为一阶线性微分方程，其中 $ P(y) = -y $，$ Q(y) = y^3 $。通解公式为：
\[
x = e^{-\int P(y) \, dy} \left[ \int Q(y) e^{\int P(y) \, dy} \, dy + C \right]
\]
代入得：
\[
x = e^{\frac{y^2}{2}} \left[ \int y^3 e^{-\frac{y^2}{2}} \, dy + C \right]
\]
计算积分：
\[
\int y^3 e^{-\frac{y^2}{2}} \, dy = -e^{-\frac{y^2}{2}} (y^2 + 2) + C_1
\]
代回通解公式：
\[
x = e^{\frac{y^2}{2}} \left[ -e^{-\frac{y^2}{2}} (y^2 + 2) + C \right] = - (y^2 + 2) + C e^{\frac{y^2}{2}}
\]
**答案：**
\[
\boxed{x = C e^{\frac{y^2}{2}} - y^2 - 2}
\]
解析
考查要点：本题主要考查微分方程的变量互换以及一阶线性微分方程的解法。关键在于将原方程转化为关于$x$的一阶线性微分方程，再利用通解公式求解。
解题思路：
- 变量互换：将原方程中的$y$视为因变量，$x$视为自变量，改写微分方程形式。
- 整理方程：将方程整理为标准的一阶线性微分方程形式$\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$。
- 应用通解公式：利用积分因子法求解，重点计算积分$\int Q(y) e^{\int P(y) dy} dy$。
- 化简结果：代入积分结果并整理，得到通解。
步骤1：变量互换与方程整理
原方程为$y' = \frac{1}{xy + y^3}$，即$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy + y^3}$。将变量互换，得到：
$\frac{dx}{dy} = xy + y^3$
整理为标准形式：
$\frac{dx}{dy} - yx = y^3$
此时，$P(y) = -y$，$Q(y) = y^3$。
步骤2：应用通解公式
一阶线性微分方程的通解公式为：
$x = e^{-\int P(y) dy} \left[ \int Q(y) e^{\int P(y) dy} dy + C \right]$
计算积分因子：
$e^{-\int (-y) dy} = e^{\frac{y^2}{2}}$
步骤3：计算积分
代入公式中的积分部分：
$\int y^3 e^{-\frac{y^2}{2}} dy$
分部积分法：
- 设$u = y^2$，则$du = 2y dy$；
- 设$dv = y e^{-\frac{y^2}{2}} dy$，则$v = -e^{-\frac{y^2}{2}}$；
- 分部积分得：
$\int y^3 e^{-\frac{y^2}{2}} dy = -y^2 e^{-\frac{y^2}{2}} + 2 \int y e^{-\frac{y^2}{2}} dy = -e^{-\frac{y^2}{2}} (y^2 + 2) + C_1$
步骤4：代入通解并化简
将积分结果代入通解公式：
$x = e^{\frac{y^2}{2}} \left[ -e^{-\frac{y^2}{2}} (y^2 + 2) + C \right] = C e^{\frac{y^2}{2}} - y^2 - 2$