设 f(x) 为 (-infty, +infty) 上的连续函数，则与 int_(1)^2 f((1)/(x))dx 的值相等的定积分为（）A. int_(1)^2 (f(x))/(x^2) dxB. int_(2)^1 (f(x))/(x^2) dxC. int_((1)/(2))^1 (f(x))/(x^2) dxD. int_(1)^(1)/(2) (f(x))/(x^2) dx

本题考查定积分的变量替换法。核心思路是通过换元法将原积分转换为与选项中形式一致的积分。关键在于：

1. 选择合适的替换变量，通常令替换变量与被积函数中的复合函数相关；
2. 正确计算替换后的积分上下限和微分关系；
3. 调整积分上下限的顺序并处理符号变化。

变量替换过程

1. 令替换变量：设 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x$ 从 $1$ 到 $2$ 时，$t$ 从 $1$ 变化到 $\frac{1}{2}$；
2. 计算微分关系：由 $t = \frac{1}{x}$ 得 $dt = -\frac{1}{x^2}dx$，即 $dx = -\frac{1}{t^2}dt$；
3. 替换积分上下限：原积分 $\int_{1}^{2} f\left(\frac{1}{x}\right)dx$ 转换为：
   $\int_{t=1}^{t=\frac{1}{2}} f(t) \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right)dt$
4. 调整积分顺序：交换积分上下限并消去负号：
   $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f(t)}{t^2}dt$
5. 变量还原：将积分变量 $t$ 换回 $x$，结果为：
   $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f(x)}{x^2}dx$

选项分析

• 选项C 的积分区间和被积函数均与推导结果一致；
• 选项D 积分区间为 $[1, \frac{1}{2}]$，需额外添加负号，与原积分不等；
• 选项A、B 的积分区间或被积函数形式错误。