题目
lim _(n arrow infty)[(1+(1)/(n))(1+(2)/(n)) ...(1+(n)/(n))]^(1)/(n)=______.
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=\_\_\_\_\_\_.$
题目解答
答案
我们来求极限：
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}
$$
---
### 第一步：观察结构
设：
$$
a_n = \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}
$$
我们记乘积部分为：
$$
P_n = \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k}{n}\right)
$$
于是：
$$
a_n = P_n^{1/n}
$$
---
### 第二步：取对数，转化为求和
我们取对数，利用对数的性质将乘积转化为求和：
$$
\ln a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{k}{n}\right)
$$
这看起来像是一个**黎曼和**（Riemann sum）。
---
### 第三步：转化为定积分
考虑函数 $ f(x) = \ln(1 + x) $，在区间 $[0,1]$ 上的积分：
$$
\int_0^1 \ln(1 + x) \, dx
$$
而我们有：
$$
\ln a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{k}{n}\right) \approx \int_0^1 \ln(1 + x) \, dx
$$
当 $ n \to \infty $ 时，黎曼和收敛于积分：
$$
\lim_{n \to \infty} \ln a_n = \int_0^1 \ln(1 + x) \, dx
$$
---
### 第四步：计算定积分
我们来计算：
$$
\int_0^1 \ln(1 + x) \, dx
$$
使用分部积分法：
令：
- $ u = \ln(1 + x) $，则 $ du = \frac{1}{1+x} dx $
- $ dv = dx $，则 $ v = x $
于是：
$$
\int \ln(1 + x) \, dx = x \ln(1 + x) - \int \frac{x}{1 + x} \, dx
$$
计算第二个积分：
$$
\int \frac{x}{1 + x} dx = \int \left(1 - \frac{1}{1 + x}\right) dx = x - \ln(1 + x)
$$
所以：
$$
\int \ln(1 + x) dx = x \ln(1 + x) - x + \ln(1 + x)
$$
代入上下限 $ [0,1] $：
$$
\int_0^1 \ln(1 + x) dx = \left[ x \ln(1 + x) - x + \ln(1 + x) \right]_0^1
$$
计算：
- 当 $ x = 1 $：$ 1 \cdot \ln 2 - 1 + \ln 2 = 2\ln 2 - 1 $
- 当 $ x = 0 $：$ 0 - 0 + \ln 1 = 0 $
所以：
$$
\int_0^1 \ln(1 + x) dx = 2\ln 2 - 1
$$
---
### 第五步：还原极限
我们有：
$$
\lim_{n \to \infty} \ln a_n = 2\ln 2 - 1
$$
因此：
$$
\lim_{n \to \infty} a_n = e^{2\ln 2 - 1} = e^{\ln 4 - 1} = \frac{4}{e}
$$
---
### ✅ 最终答案：
$$
\boxed{\frac{4}{e}}
$$
解析
考查要点：本题主要考查极限的求解方法，特别是利用对数转换将乘积转化为求和，进而转化为定积分的技巧，以及分部积分法的应用。
解题核心思路：
- 对数转换：对原式取自然对数，将乘积转化为求和，简化运算。
- 黎曼和与定积分：识别求和形式为黎曼和，转化为定积分计算。
- 分部积分法：计算定积分时，通过分部积分简化运算。
- 指数还原：将积分结果通过指数函数还原，得到最终答案。
破题关键点：
- 识别乘积的对数形式为黎曼和，这是解题的核心突破口。
- 正确计算定积分，尤其是分部积分法的步骤。
第一步：对数转换
设原式为 $a_n = \left[\prod_{k=1}^{n} \left(1+\frac{k}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$，取自然对数得：
$\ln a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$
第二步：转化为定积分
当 $n \to \infty$ 时，求和 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$ 近似为函数 $f(x) = \ln(1+x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的积分：
$\lim_{n \to \infty} \ln a_n = \int_0^1 \ln(1+x) \, dx$
第三步：计算定积分
使用分部积分法：
- 令 $u = \ln(1+x)$，$dv = dx$，则 $du = \frac{1}{1+x} dx$，$v = x$。
- 积分得：
$\int \ln(1+x) \, dx = x \ln(1+x) - \int \frac{x}{1+x} \, dx$ - 分解 $\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$，得：
$\int \frac{x}{1+x} \, dx = x - \ln(1+x)$ - 代入上下限 $[0,1]$，最终结果为：
$\int_0^1 \ln(1+x) \, dx = 2\ln 2 - 1$
第四步：还原极限
$\lim_{n \to \infty} a_n = e^{2\ln 2 - 1} = \frac{4}{e}$