题目

5、积分int_(0)^2dxint_(x)^2e^-y^(2)dy的值等于____.

5、积分$\int_{0}^{2}dx\int_{x}^{2}e^{-y^{2}}dy$的值等于____.

题目解答

答案

为了计算积分$\int_{0}^{2}dx\int_{x}^{2}e^{-y^{2}}dy$，我们可以改变积分的顺序。原积分的积分区域由 $0 \leq x \leq 2$ 和 $x \leq y \leq 2$ 描述。我们可以将这个区域重写为 $0 \leq y \leq 2$ 和 $0 \leq x \leq y$。因此，积分可以重写为： \[ \int_{0}^{2}dx\int_{x}^{2}e^{-y^{2}}dy = \int_{0}^{2}dy\int_{0}^{y}e^{-y^{2}}dx \] 现在，我们先对 $x$ 进行积分。由于 $e^{-y^2}$ 是关于 $y$ 的函数，它在对 $x$ 积分时可以被看作常数： \[ \int_{0}^{y}e^{-y^{2}}dx = e^{-y^{2}}\int_{0}^{y}dx = e^{-y^{2}}[x]_{0}^{y} = e^{-y^{2}}y \] 现在，我们对 $y$ 进行积分： \[ \int_{0}^{2}ye^{-y^{2}}dy \] 为了计算这个积分，我们可以使用换元法。令 $u = -y^2$，则 $du = -2ydy$，即 $ydy = -\frac{1}{2}du$。当 $y = 0$ 时，$u = 0$；当 $y = 2$ 时，$u = -4$。因此，积分变为： \[ \int_{0}^{2}ye^{-y^{2}}dy = \int_{0}^{-4}-\frac{1}{2}e^{u}du = \frac{1}{2}\int_{-4}^{0}e^{u}du = \frac{1}{2}[e^{u}]_{-4}^{0} = \frac{1}{2}(e^{0} - e^{-4}) = \frac{1}{2}(1 - e^{-4}) \] Thus, the answer is: \[ \boxed{\frac{1}{2}(1-e^{-4})} \]

解析

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，特别是通过改变积分顺序简化计算的能力，以及利用换元法求解定积分。

解题核心思路：
原积分的内层积分$\int_{x}^{2}e^{-y^{2}}dy$无法直接用初等函数表示，因此考虑交换积分顺序。通过分析积分区域，将原二重积分转换为更易计算的形式，再利用换元法完成对$y$的积分。

破题关键点：

确定积分区域：原积分区域为$0 \leq x \leq 2$，$x \leq y \leq 2$，交换顺序后变为$0 \leq y \leq 2$，$0 \leq x \leq y$。
简化内层积分：交换后对$x$积分时，$e^{-y^{2}}$视为常数，积分结果为$y e^{-y^{2}}$。
换元法求解：对$y e^{-y^{2}}$积分时，通过令$u = -y^{2}$简化计算。

步骤1：交换积分顺序
原积分区域为$0 \leq x \leq 2$，$x \leq y \leq 2$，交换顺序后变为$0 \leq y \leq 2$，$0 \leq x \leq y$，因此积分变为：
$\int_{0}^{2}dx\int_{x}^{2}e^{-y^{2}}dy = \int_{0}^{2}dy\int_{0}^{y}e^{-y^{2}}dx.$

步骤2：计算内层积分
对$x$积分时，$e^{-y^{2}}$为常数：
$\int_{0}^{y}e^{-y^{2}}dx = e^{-y^{2}} \cdot \int_{0}^{y}dx = e^{-y^{2}} \cdot y.$

步骤3：计算外层积分
对$y$积分：
$\int_{0}^{2} y e^{-y^{2}} dy.$
令$u = -y^{2}$，则$du = -2y dy$，即$y dy = -\frac{1}{2} du$。当$y=0$时$u=0$，$y=2$时$u=-4$，积分变为：
$\int_{0}^{2} y e^{-y^{2}} dy = \int_{0}^{-4} -\frac{1}{2} e^{u} du = \frac{1}{2} \int_{-4}^{0} e^{u} du.$
计算得：
$\frac{1}{2} \left[ e^{u} \right]_{-4}^{0} = \frac{1}{2} \left( 1 - e^{-4} \right).$