题目

掷三颗骰子，求以下事件的概率: (1)所得的最大点数小于等于5.(2)所得的最大点数等于5.

掷三颗骰子，求以下事件的概率: 

(1)所得的最大点数小于等于5.

(2)所得的最大点数等于5.

题目解答

答案

(1)掷三颗骰子，所得的最大点数小于等于5，则每颗骰子的点数小于等于5，即可得概率$$p_1=(\frac{5}{6})^3$$$$=\frac{125}{216}$$

(2)所得的最大点数等于5，则另外两颗小于等于5，当三颗骰子有1个5时，概率为$$3\times \frac{1}{6}\times (\frac{4}{6})^2=\frac{2}{9}$$，当三颗骰子有2个5时，概率为$$3\times (\frac{1}{6})^2\times \frac{4}{6}=\frac{1}{18}$$，当三颗骰子有3个5时，概率为$$ (\frac{ 1}{6})^3$$$$=\frac{1 }{216}$$，故总的概率$$p_2=\frac{2}{9}+$$$$\frac{1}{18}+$$$$\frac{1}{216}$$$$=\frac{61}{216}$$

解析

考查要点：本题主要考查概率的基本计算，涉及独立事件和组合数的应用，重点在于理解最大值条件的处理方法。

解题核心思路：

  1. 事件（1）：最大点数不超过5，等价于每个骰子的点数均不超过5，直接计算符合条件的组合数。
  2. 事件（2）：最大点数等于5，需满足至少有一个骰子为5，其余骰子不超过5。可通过分情况讨论（按骰子中5的数量分类）或补集法（最大值不超过5减去最大值不超过4）求解。

破题关键点：

  • 独立性：每个骰子的结果相互独立，可用乘法原理计算概率。
  • 组合数：不同情况下骰子的排列组合需准确计算（如选1个、2个或3个骰子为5）。

第（1）题

关键思路：所有骰子的点数均不超过5。

  1. 单个骰子的概率：点数≤5的概率为$\frac{5}{6}$。
  2. 三个骰子独立：总概率为$\left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$。

第（2）题

关键思路：最大点数为5，即至少有一个5且其他骰子≤5。分三种情况计算：

情况1：恰好1个5

  1. 选择位置：从3个骰子中选1个为5，有$C_3^1 = 3$种方式。
  2. 剩余骰子：另两个骰子点数≤4，每个概率为$\frac{4}{6}$。
  3. 概率计算：$3 \times \frac{1}{6} \times \left(\frac{4}{6}\right)^2 = \frac{2}{9}$。

情况2：恰好2个5

  1. 选择位置：从3个骰子中选2个为5，有$C_3^2 = 3$种方式。
  2. 剩余骰子：最后一个骰子点数≤4，概率为$\frac{4}{6}$。
  3. 概率计算：$3 \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \frac{4}{6} = \frac{1}{18}$。

情况3：恰好3个5

  1. 唯一情况：三个骰子均为5。
  2. 概率计算：$\left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}$。

总概率：将三种情况相加：
$\frac{2}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{216} = \frac{61}{216}.$