题目
9.（判断题，2.0分）设Σ是xOy面上的闭区域{}0le xle 10le yle 1(x+y+z)dydz=0.A. 对B. 错
9.（判断题，2.0分）
设Σ是xOy面上的闭区域$\left\{\begin{matrix}0\le x\le 1\\0\le y\le 1\end{matrix}\right.$的上侧，则$\iint\limits_{\Sigma}(x+y+z)dydz=0.$
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：确定曲面方程和积分区域
曲面 $\Sigma$ 是 xOy 平面上的闭区域，其方程为 $z=0$，积分区域为 $0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 1$。
步骤 2：将曲面积分投影到 xOy 平面
由于曲面 $\Sigma$ 在 xOy 平面上，$dydz$ 对应 xOy 平面上的面积元素 $dxdy$。因此，曲面积分可以投影到 xOy 平面上进行计算。
步骤 3：计算二重积分
积分函数为 $x+y+z$，由于 $z=0$，积分函数变为 $x+y$。计算二重积分：
\[ \iint\limits_{D_{xy}} (x + y) \, dxdy = \int_0^1 \int_0^1 (x + y) \, dydx \]
\[ = \int_0^1 \left[xy + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 dx \]
\[ = \int_0^1 \left(x + \frac{1}{2}\right) dx \]
\[ = \left[\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}\right]_0^1 \]
\[ = 1 \]
曲面 $\Sigma$ 是 xOy 平面上的闭区域，其方程为 $z=0$，积分区域为 $0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 1$。
步骤 2：将曲面积分投影到 xOy 平面
由于曲面 $\Sigma$ 在 xOy 平面上，$dydz$ 对应 xOy 平面上的面积元素 $dxdy$。因此，曲面积分可以投影到 xOy 平面上进行计算。
步骤 3：计算二重积分
积分函数为 $x+y+z$，由于 $z=0$，积分函数变为 $x+y$。计算二重积分：
\[ \iint\limits_{D_{xy}} (x + y) \, dxdy = \int_0^1 \int_0^1 (x + y) \, dydx \]
\[ = \int_0^1 \left[xy + \frac{y^2}{2}\right]_0^1 dx \]
\[ = \int_0^1 \left(x + \frac{1}{2}\right) dx \]
\[ = \left[\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}\right]_0^1 \]
\[ = 1 \]