题目
求解下列非齐次线性方程组:(1) ) 4(x)_(1)+2(x)_(2)-(x)_(3)=2 3(x)_(1)-1(x)_(2)+2(x)_(3)=10 11(x)_(1)+3(x)_(2)=8 .
求解下列非齐次线性方程组:
(1)
题目解答
答案
解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B
~
于是R(A)2 而R(B)3 故方程组无解
(2)
解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B
~
于是 
即 
(k为任意常数)
(3)
解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B
~
于是 
即 
(k1 k2为任意常数)
(4)
解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B
~
于是 
即 
(k1 k2为任意常数)
解析
步骤 1：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵的形式，即
$$
B = \left( \begin{array}{ccc|c}
4 & 2 & -1 & 2 \\
3 & -1 & 2 & 10 \\
11 & 3 & 0 & 8
\end{array} \right)
$$
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。首先，将第一行乘以3/4，第二行乘以4/3，然后将第一行从第二行中减去，得到
$$
B = \left( \begin{array}{ccc|c}
4 & 2 & -1 & 2 \\
0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{4} & 9 \\
11 & 3 & 0 & 8
\end{array} \right)
$$
接着，将第一行乘以11/4，第三行乘以4/11，然后将第一行从第三行中减去，得到
$$
B = \left( \begin{array}{ccc|c}
4 & 2 & -1 & 2 \\
0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{4} & 9 \\
0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{4} & 6
\end{array} \right)
$$
最后，将第二行乘以-1，第三行乘以1，然后将第二行从第三行中减去，得到
$$
B = \left( \begin{array}{ccc|c}
4 & 2 & -1 & 2 \\
0 & \frac{5}{2} & -\frac{11}{4} & -9 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{array} \right)
$$
步骤 3：判断方程组的解
根据阶梯形矩阵，可以看出方程组的系数矩阵A的秩为2，而增广矩阵B的秩为3，因此方程组无解。
将方程组写成增广矩阵的形式，即
$$
B = \left( \begin{array}{ccc|c}
4 & 2 & -1 & 2 \\
3 & -1 & 2 & 10 \\
11 & 3 & 0 & 8
\end{array} \right)
$$
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。首先，将第一行乘以3/4，第二行乘以4/3，然后将第一行从第二行中减去，得到
$$
B = \left( \begin{array}{ccc|c}
4 & 2 & -1 & 2 \\
0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{4} & 9 \\
11 & 3 & 0 & 8
\end{array} \right)
$$
接着，将第一行乘以11/4，第三行乘以4/11，然后将第一行从第三行中减去，得到
$$
B = \left( \begin{array}{ccc|c}
4 & 2 & -1 & 2 \\
0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{4} & 9 \\
0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{4} & 6
\end{array} \right)
$$
最后，将第二行乘以-1，第三行乘以1，然后将第二行从第三行中减去，得到
$$
B = \left( \begin{array}{ccc|c}
4 & 2 & -1 & 2 \\
0 & \frac{5}{2} & -\frac{11}{4} & -9 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{array} \right)
$$
步骤 3：判断方程组的解
根据阶梯形矩阵，可以看出方程组的系数矩阵A的秩为2，而增广矩阵B的秩为3，因此方程组无解。