2【简答题】若L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，求int_(L)(x+y)ds.

本题考查对弧长的曲线积分的计算。解题思路是先将直线段$L$进行参数化，然后求出弧长元素$ds$，最后将参数方程和弧长元素代入曲线积分表达式进行计算。

1. 参数化直线段$L$：
   已知直线段$L$连接$(1,0)$及$(0,1)$两点，设直线$L$的参数方程为$\begin{cases}x = x_0 + at\\y = y_0 + bt\end{cases}$（$t$为参数）。
   当$t = 0$时，$\begin{cases}x = 1\\y = 0\end{cases}$；当$t = 1$时，$\begin{cases}x = 0\\y = 1\end{cases}$。
   则可得$\begin{cases}1 = x_0 + a\times0\\0 = y_0 + b\times0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_0 = 1\\y_0 = 0\end{cases}$。
   又因为$\begin{cases}0 = 1 + a\times1\\1 = 0 + b\times1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 1\end{cases}$。
   所以直线段$L$的参数方程为$\begin{cases}x = 1 - t\\y = t\end{cases}$，其中$t \in [0, 1]$。
2. 计算弧长元素$ds$：
   对于参数方程$\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\end{cases}$，弧长元素$ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} \, dt$。
   对$x = 1 - t$求导，$\frac{dx}{dt} = -1$；对$y = t$求导，$\frac{dy}{dt} = 1$。
   则$ds = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} \, dt = \sqrt{2} \, dt$。
3. 计算曲线积分$\int_{L}(x+y)ds$：
   将$x = 1 - t$，$y = t$，$ds = \sqrt{2} \, dt$代入曲线积分$\int_{L}(x+y)ds$中，可得：
   $\int_{L} (x + y) \, ds = \int_{0}^{1} [(1 - t) + t] \sqrt{2} \, dt$
   先计算被积函数$(1 - t) + t = 1$，则$\int_{0}^{1} [(1 - t) + t] \sqrt{2} \, dt = \int_{0}^{1} \sqrt{2} \, dt$。
   根据定积分的计算法则$\int_{a}^{b} k \, dt = k(b - a)$（$k$为常数），可得$\int_{0}^{1} \sqrt{2} \, dt = \sqrt{2}(1 - 0) = \sqrt{2}$。