函数 z = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x 的极大值点是 ()。A. (-3, 2)B. (3, 2)C. (3, -2)D. (-3, -2)

步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 $z = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x$ 的偏导数。对于 $x$ 的偏导数，我们得到 $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + 6x - 9$。对于 $y$ 的偏导数，我们得到 $\frac{\partial z}{\partial y} = -3y^2 + 6y$。

步骤 2：求解临界点
接下来，我们需要找到临界点，即 $\frac{\partial z}{\partial x} = 0$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 0$ 的解。对于 $\frac{\partial z}{\partial x} = 0$，我们得到 $3x^2 + 6x - 9 = 0$，解得 $x = -3$ 或 $x = 1$。对于 $\frac{\partial z}{\partial y} = 0$，我们得到 $-3y^2 + 6y = 0$，解得 $y = 0$ 或 $y = 2$。因此，临界点为 $(-3, 0)$, $(-3, 2)$, $(1, 0)$, $(1, 2)$。

步骤 3：判断极大值点
为了判断这些临界点是否为极大值点，我们需要计算二阶偏导数。对于 $x$ 的二阶偏导数，我们得到 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x + 6$。对于 $y$ 的二阶偏导数，我们得到 $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -6y + 6$。对于混合偏导数，我们得到 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0$。根据二阶偏导数的符号，我们可以判断临界点的性质。对于点 $(-3, 2)$，我们有 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -12 < 0$，$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -6 < 0$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0$，因此，点 $(-3, 2)$ 是一个极大值点。