题目

[题目]设A、B、C是三个随机事件,已知P(A)-|||-=P(B)=P(C)=1/4, (AB)=0, P(AC)-|||-=P(BC)=1/16, 求事件A、B、C全不发生的概-|||-率为.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查三个事件并的概率计算，需要运用容斥原理，并结合事件间的关系进行推导。

解题核心思路：

  1. 全不发生的概率可转化为1减去至少一个发生的概率，即 $P(A' \cap B' \cap C') = 1 - P(A \cup B \cup C)$。
  2. 利用容斥原理展开 $P(A \cup B \cup C)$，注意题目中给出的条件（如 $P(AB)=0$）可简化计算。
  3. 关键点在于正确处理事件交集的概率，尤其是 $P(ABC)$ 的值。

步骤1：应用容斥原理

根据容斥原理，三个事件并的概率为：
$\begin{aligned}P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) \\&\quad - P(AB) - P(AC) - P(BC) \\&\quad + P(ABC)\end{aligned}$

步骤2：代入已知条件

题目给出：

  • $P(A) = P(B) = P(C) = \dfrac{1}{4}$，
  • $P(AB) = 0$，
  • $P(AC) = P(BC) = \dfrac{1}{16}$，
  • 由于 $P(AB) = 0$，说明 $A$ 和 $B$ 互斥，因此 $P(ABC) = 0$。

代入公式：
$\begin{aligned}P(A \cup B \cup C) &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \\&\quad - 0 - \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{16} \\&\quad + 0 \\&= \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{16} \\&= \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{8} \\&= \dfrac{5}{8}\end{aligned}$

步骤3：计算全不发生的概率

$P(A' \cap B' \cap C') = 1 - P(A \cup B \cup C) = 1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}$