用一橙黄色(波长范围6000Å~6500Å)平行光垂直照射到宽度为a=0.6mm的单缝上,在缝后放置一个焦距f=60cm的凸透镜,则在屏幕上形成衍射条纹,若屏上离中央明条纹中心为2.79mm的P处为一明条纹,试求:(1)入射光的波长; (2)中央明条纹的角宽度,线宽度;(3)第二级明纹所对应的衍射角。

考察知识

单缝衍射的明纹条件、暗纹条件及相关计算（角宽度、线宽度、衍射角等）。

题目(1)解析：求入射光波长

关键公式

单缝衍射明纹条件：$a\sin\theta=(2m+1)\frac{\lambda}{2}$（$m=1,2,3,\dots$），其中$a$为缝宽，$\theta$为衍射角，$\lambda$为波长。
因$\theta$很小，$\sin\theta\approx\tan\theta=\frac{x_m}{f}$（$x_m$为屏上明纹位置，$f$为透镜焦距）。

计算步骤

1. 计算$\sin\theta$：
   $x_m=2.79\,\text{mm}=2.79\times10^{-3}\,\text{m}$，$f=60\,\text{cm}=0.6\,\text{m}$，则：
   $\sin\theta\approx\tan\theta=\frac{2.79\times10^{-3}}{0.6}=4.65\times10^{-3}$。
2. 代入明纹条件求$\lambda$：
   整理得$\lambda=\frac{2a\sin\theta}{2m+1}$，代入$a=0.6\,\text{mm}=6\times10^{-4}\,\text{m}$：
   $\lambda=\frac{2\times6\times10^{-4}\times4.65\times10^{-3}}{2m+1}=\frac{5.58\times10^{-6}}{2m+1}\,\text{m}$。
3. 根据波长范围确定$m$：
   橙黄色光波长$6000\,\text{Å}\sim6500\,\text{Å}$（即$6\times10^{-7}\sim6.5\times10^{-7}\,\text{m}$），代入得：
   $6\times10^{-7}\leq\frac{5.58\times10^{-6}}{2m+1}\leq6.5\times10^{-7}$，
   解得$3.79\leq m\leq4.15$，取$m=4$。
4. 计算波长：
   $\lambda=\frac{5.58\times10^{-6}}{2\times4+1}=6.2\times10^{-7}\,\text{m}=6200\,\text{Å}$。

题目(2)解析：中央明纹的角宽度和线宽度

关键公式

中央明纹半角宽度：$\theta_1=\frac{\lambda}{a}$（对应第一级暗纹），
角宽度：$\Delta\theta=2\theta_1=\frac{2\lambda}{a}$，
线宽度：$\Delta x=f\Delta\theta$。

计算步骤

1. 角宽度：
   $\Delta\theta=\frac{2\lambda}{a}=\frac{2\times6.2\times10^{-7}}{6\times10^{-4}}\approx2.07\times10^{-3}\,\text{rad}$。
2. 线宽度：
   $\Delta x=0.6\times2.07\times10^{-3}\approx1.24\times10^{-3}\,\text{m}=1.24\,\text{mm}$。

题目(3)解析：第二级明纹的衍射角

关键公式

明纹条件：$a\sin\theta=(2m+1)\frac{\lambda}{2}$，$m=2$时：
$\sin\theta=\frac{5\lambda}{2a}$。

计算步骤

代入$\lambda=6.2\times10^{-7}\,\text{m}$，$a=6\times10^{-4}\,\text{m}$：
$\sin\theta=\frac{5\times6.2\times10^{-7}}{2\times6\times10^{-4}}\approx2.59\times10^{-3}$，
因$\theta$很小，$\theta\approx\sin\theta=2.59\times10^{-3}\,\text{rad}$。