题目
(2024·新课标Ⅱ卷)记 Delta ABC 的内角A,B,C-|||-的对边分别为a,b,c,已知 sin A+sqrt (3)cos A=2.-|||-(1)求A;-|||-(2)若 a=2 sqrt (2)bsin C=csin 2B ,求 Delta ABC 的-|||-周长.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解A
由 $\sin A+\sqrt {3}\cos A=2$ 可得 $\dfrac {1}{2}\sin A+\dfrac {\sqrt {3}}{2}\cos A=1$,
即 $\sin (A+\dfrac {\pi }{3})=1$ 由于 $A\in (0,\pi )\Longrightarrow A+\dfrac {\pi }{3}\in (\dfrac {\pi }{3},\dfrac {4\pi }{3})$ - 故 $A+\dfrac {\pi }{3}=\dfrac {\pi }{2}$ - 解得 $A=\dfrac {\pi }{6}$.
步骤 2：求解B
由题设条件和正弦定理,得 $\sqrt {2}b\sin C=c\sin 2B=\sqrt {2}\sin B\sin C=2\sin C\sin B\cos B$ 又B, $C\in (0,\pi )$ ,则 $\sin B\sin C\neq 0$ , 得 $\cos B=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$ 故 $B=\dfrac {\pi }{4}$.
步骤 3：求解C
于是 $\sin C=\sin (\pi -A-B)=\sin (A+B)=\sin A\cos B+$ $\cos A\sin B=\dfrac {\sqrt {2}+\sqrt {6}}{4}$.
步骤 4：求解周长
由正弦定理 $\dfrac {a}{\sin A}=\dfrac {b}{\sin B}=\dfrac {c}{\sin C}$, 得$\dfrac {2}{\sin \dfrac {\pi }{6}}=\dfrac {b}{\sin \dfrac {\pi }{4}}=\dfrac {c}{\sin C}$ . 解得 $b=2\sqrt {2}$, $c=\sqrt {2}+\sqrt {6}$, 故$\Delta ABC$ 的周长为 $2+3\sqrt {2}+\sqrt {6}$.
由 $\sin A+\sqrt {3}\cos A=2$ 可得 $\dfrac {1}{2}\sin A+\dfrac {\sqrt {3}}{2}\cos A=1$,
即 $\sin (A+\dfrac {\pi }{3})=1$ 由于 $A\in (0,\pi )\Longrightarrow A+\dfrac {\pi }{3}\in (\dfrac {\pi }{3},\dfrac {4\pi }{3})$ - 故 $A+\dfrac {\pi }{3}=\dfrac {\pi }{2}$ - 解得 $A=\dfrac {\pi }{6}$.
步骤 2：求解B
由题设条件和正弦定理,得 $\sqrt {2}b\sin C=c\sin 2B=\sqrt {2}\sin B\sin C=2\sin C\sin B\cos B$ 又B, $C\in (0,\pi )$ ,则 $\sin B\sin C\neq 0$ , 得 $\cos B=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$ 故 $B=\dfrac {\pi }{4}$.
步骤 3：求解C
于是 $\sin C=\sin (\pi -A-B)=\sin (A+B)=\sin A\cos B+$ $\cos A\sin B=\dfrac {\sqrt {2}+\sqrt {6}}{4}$.
步骤 4：求解周长
由正弦定理 $\dfrac {a}{\sin A}=\dfrac {b}{\sin B}=\dfrac {c}{\sin C}$, 得$\dfrac {2}{\sin \dfrac {\pi }{6}}=\dfrac {b}{\sin \dfrac {\pi }{4}}=\dfrac {c}{\sin C}$ . 解得 $b=2\sqrt {2}$, $c=\sqrt {2}+\sqrt {6}$, 故$\Delta ABC$ 的周长为 $2+3\sqrt {2}+\sqrt {6}$.