(2025,3)设矩阵A=}1&2-2&-a,若f(x,y)=|xA+yB|是正定二次型，则a的取值范围是A. (0,2-sqrt(3))B. (2-sqrt(3),2+sqrt(3))C. (2+sqrt(3),4)D. (0,4)

考查要点：本题主要考查二次型的正定性判断，涉及矩阵行列式的计算、二次型矩阵的构造以及正定条件的应用。

解题核心思路：

1. 构造二次型矩阵：将题目中的表达式展开为标准二次型形式，确定对应的矩阵。
2. 应用正定条件：通过判断矩阵的顺序主子式是否均大于0，确定参数$a$的取值范围。

破题关键点：

• 正确展开行列式：将矩阵$xA + yB$的行列式展开为二次型表达式。
• 构造对称矩阵：根据二次型的系数确定对应的对称矩阵。
• 解二次不等式：结合主子式条件，求解$a$的范围。

步骤1：计算矩阵$xA + yB$的行列式

矩阵$xA + yB$的元素为：
$\begin{bmatrix}x + y & 2x \\-2x + y & -ax + ay\end{bmatrix}$

行列式为：
$\begin{aligned}|xA + yB| &= (x + y)(-ax + ay) - (2x)(-2x + y) \\&= -a(x + y)x + a(x + y)y + 4x^2 - 2xy \\&= (4 - a)x^2 - 2xy + ay^2.\end{aligned}$

步骤2：构造二次型矩阵

二次型$f(x, y) = (4 - a)x^2 - 2xy + ay^2$对应的对称矩阵为：
$C = \begin{bmatrix}4 - a & -1 \\-1 & a\end{bmatrix}.$

步骤3：判断正定性

1. 第一主子式：$4 - a > 0 \implies a < 4$。
2. 行列式：$\det(C) = (4 - a)a - 1 > 0$，即：
   $a^2 - 4a + 1 < 0 \implies 2 - \sqrt{3} < a < 2 + \sqrt{3}.$

综合条件：$a$需同时满足$a < 4$和$2 - \sqrt{3} < a < 2 + \sqrt{3}$，最终取值范围为$(2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$。